Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$. Xác định tính tăng, giảm của dãy.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})-(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\sqrt{n+2}+\sqrt{n}-2\sqrt{n+1}$. Nhân liên hợp với $\sqrt{n+2}+\sqrt{n}+2\sqrt{n+1}>0$: $u_{n+1}-u_n=\frac{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n}{)}^2-4(n+1)}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}+2\sqrt{n+1}}=\frac{2n+2+2\sqrt{n(n+2)}-4n-4}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}+2\sqrt{n+1}}=\frac{2(\sqrt{n(n+2)}-(n+1))}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}+2\sqrt{n+1}}$. Vì $n(n+2)=n^2+2n<(n+1{)}^2=n^2+2n+1$ nên $\sqrt{n(n+2)}<n+1$, suy ra $u_{n+1}-u_n<0$ với mọi $n\ge 1$. Vậy dãy số $(u_n)$ là dãy số giảm. (Cách khác: $u_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ giảm khi $n$ tăng vì mẫu số tăng.)