Cho dãy số $(u_n)$, biết $u_n=\frac{n}{2^n}$. Chọn đáp án đúng.

Câu V: (1,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi: $u_1=5$, và $u_{n+1}=\frac{1}{5}\left(u_n^2-u_n+9\right)$, $\forall n\in N;n\ge 1$. Chứng minh rằng:

1) $(u_n)$ là dãy số tăng

2) $\frac{1}{u_1+2}+\frac{1}{u_2+2}+\dots +\frac{1}{u_{2026}+2}<\frac{1}{2}$

a) Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_1=11$ và $u_{n+1}+15n+1=4u_n$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Xác định công thức tổng quát của $(u_n)$ và tìm tất cả giá trị $n$ để $u_n$ là một số chính phương.

b) Trường của Hoàng có tất cả là $n$ lớp. Lớp đông nhất trường có $M$ học sinh. Hôm nay, lớp Hoàng có giờ học ngoại khóa với chủ đề “Thống Kê và Tính Toán”. Nhóm trưởng nhóm của Hoàng phân công các bạn làm việc như sau:

• Hoàng lập dãy số $a_1;a_2;...;a_n$ là số học sinh từng lớp trong trường.

• Hùng lập dãy số $b_1;b_2;...;b_M$ với $b_i$ là số lượng các lớp trong trường mà số học sinh trong mỗi lớp đó không ít hơn $i$ học sinh.

• Sơn tính giá trị $S$ là tổng lập phương mọi số mà Hoàng lập được.

• An tính giá trị $A$ là tổng tất cả giá trị $b_i$ mà Hùng lập được.

• Bình tính giá trị $B$ là tổng tất cả giá trị $i.b_i$.

• Chí tính giá trị $C$ là tổng tất cả giá trị $i^2{b}_i$.

Chứng minh rằng: $S=A-3B+3C$.

Với mỗi số tự nhiên $m$, ta kí hiệu $v_2(m)$ là số tự nhiên $k$ lớn nhất thỏa mãn $2^k\mid m$. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ thỏa mãn các điều kiện:
(i) $n$ không là một lũy thừa của 3;
(ii) Dãy số $v_2(3^0-n),v_2(3^1-n),v_2(3^2-n),\dots$ là một dãy số không bị chặn.

Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số tăng nếu với mọi số tự nhiên $n\ge 1$ ta luôn có:

Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?

Dãy số nào sau đây là dãy số giảm?