Với mỗi số tự nhiên $m$, ta kí hiệu $v_2(m)$ là số tự nhiên $k$ lớn nhất thỏa mãn $2^k\mid m$. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ thỏa mãn các điều kiện:
(i) $n$ không là một lũy thừa của 3;
(ii) Dãy số $v_2(3^0-n),v_2(3^1-n),v_2(3^2-n),\dots$ là một dãy số không bị chặn.

Đáp án (theo lời giải tham khảo, trang 6): Các số tự nhiên $n$ cần tìm là các số nguyên dương thỏa mãn $n\equiv 1$ hoặc $n\equiv 3(\mathrm{mod}8)$ và $n$ không là lũy thừa của 3.

Lời giải. Yêu cầu bài toán tương đương với tìm tất cả số tự nhiên $n$ thỏa mãn với mọi số nguyên dương $t$ thì tồn tại $k$ thỏa mãn
$$2^t\mid 3^k-n.$$
Trước hết, để ý rằng tất cả các số dư của $3^k$ modulo 8 đều thuộc tập $\{1,3\}$ do đó nếu $n$ không đồng dư 1 hoặc 3 modulo 8 thì ta có $8\nmid 3^k-n$ với mọi số tự nhiên $k$ do đó $v_2(3^k-n)⩽2$ với mọi $k$ hay dãy số trên bị chặn.
Ta sẽ chứng minh với $n$ là số nguyên dương thoả $n\equiv 1,3(\mathrm{mod}8)$ và $n$ không là lũy thừa của 3 thì dãy trên sẽ không bị chặn. Với $t=1,2,3$ thì từ điều kiện của $n$ thì dễ dàng thấy rằng tồn tại $k$ để $2^t\mid 3^k-n$. Giả sử với $t⩾3$ nào đó thì ta đã có số nguyên dương $k$ để $2^t\mid 3^k-n$, ta sẽ chỉ ra số nguyên dương $h$ mà $2^{t+1}\mid 3^h-n$. Đặt $3^k-n=2^{t}x$, nếu $x$ chẵn thì ta chọn $h=k$ thì thấy thoả mãn.
Khi mà $x$ lẻ ta xét $h=k+2^{t-2}$ thì khi này ta có
$$3^h-n=3^{2^{t-2}+k}-3^k+2^{t}x=3^k(3^{2^{t-2}}-1)+2^t\cdot x.$$
Mặt khác, theo $LTE$ ta cũng có
$$v_2(3^{2^{t-2}}-1)=v_2(3^2-1)+v_2(2^{t-3})=3+t-3=t$$
do đó ta viết được $3^k(3^{2^{t-2}}-1)$ dưới dạng $2^{t}y$ với $y$ là số lẻ, từ đó có
$$3^h-n=2^t(x+y)$$
chia hết cho $2^{t+1}$, như vậy cũng tồn tại $h$ để $2^{t+1}\mid 3^h-n$, theo quy nạp ta thấy rằng với mọi $t$ thì luôn tồn tại $k$ để $2^t\mid 3^k-n$ hay nói cách khác dãy $v_2(3^k-n)$ không bị chặn. $\square$