Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f(f(x)+y)+f(-x+f(f(y)))=2y,\forall x,y\in \mathbb{R}.$$
a) Chứng minh $f$ là một song ánh.
b) Tính $f(0)$ và tìm tất cả các hàm số $f$ thỏa mãn phương trình hàm đã cho.

$$f(f(x)+y)+f(-x+f(f(y)))=2y,\forall x,y\in \mathbb{R}.(1)$$
a) Trong $(1)$ thay $x=f(f(y))$ thì ta có được
$$f(f(f(f(y)))+y)=2y-f(0),\forall y\in \mathbb{R}.$$
Do $2y-f(0)$ có tập giá trị là $\mathbb{R}$ nên ta có ngay $f$ toàn ánh. Khi đó tồn tại $c$ sao cho $f(c)=0$. Với $x_1,x_2$ là hai số thực thỏa mãn $f(x_1)=f(x_2)$. Thay $x=c$ và thay lần lượt $y=x_1,y=x_2$ vào $(1)$, ta được
$$2x_1=f(x_1)+f(-c+f(f(x_1)))=f(x_2)+f(-c+f(f(x_2)))=2x_2\Rightarrow x_1=x_2.$$
Vậy $f$ là đơn ánh, suy ra $f$ là một song ánh.

b) Do $f$ song ánh nên tồn tại duy nhất số thực $t$ để $f(t)=0$. Trong $(1)$ ta thay $x=y=0$ thì ta được
$$f(f(0))+f(f(f(0)))=0\Rightarrow f(f(f(0)))=-f(f(0)).$$
Ngoài ra, nếu ta thay $y=0$ và $x=f(f(0))$ trong $(1)$ thì ta cũng có
$$f(f(f(f(0))))+f(0)=0.$$
Và nếu thay $x=t$ và $y=0$ thì ta cũng sẽ có
$$f(0)+f(-t+f(f(0)))=0\Rightarrow f(-t+f(f(0)))=f(f(f(f(0))))\Rightarrow -t+f(f(0))=f(f(f(0))).$$
Mà $f(f(f(0)))=-f(f(0))$ nên $t=2f(f(0))$. Như vậy, ta có thể thay $x=-f(f(0))$ và $y=0$ trong $(1)$ thì ta được
$$f(f(-f(f(0))))=0\Rightarrow f(-f(f(0)))=t.$$
Mà $-f(f(0))=f(f(f(0)))$ nên $f(f(f(f(0))))=0$ như vậy ta thu được $f(0)+t=0$. Bây giờ, ta thay $x=y=t$ vào $(1)$ thì được $f(-t+f(0))=2t$ hay $f(-2t)=2t$, từ đó lại cho $x=-2t,y=t$ vào $(1)$ thì
$$f(2t+t)+f(2t+f(0))=2t\Rightarrow f(3t)=2t=f(-2t)\Rightarrow 3t=-2t\Rightarrow t=0\Rightarrow f(0)=0.$$
Tiếp theo, để tìm tất cả hàm số $f$ thỏa mãn thì ta thay $x=0$ vào $(1)$ thì ta có
$$f(y)+f(f(f(y)))=2y,\forall y\in \mathbb{R}(2)$$
Rồi thay $y=0$ vào $(1)$ thì được
$$f(f(x))=-f(-x),\forall x\in \mathbb{R}(3).$$
Từ $(3)$ ta có $f(f(-f(x))=-f(-(-f(x))=-f(f(x))=f(-x)$ nên khi thay $y$ bởi $-f(x)$ vào $(1)$ thì ta có
$$f(-x+f(-x))=-2f(x)\Rightarrow f(x+f(x))=2\cdot (-f(-x))=2f(f(x)),\forall x\in \mathbb{R}.$$
Ngoài ra, ta cũng có thể thay $x=-f(f(y))$ trong $(1)$ thì thu được
$$f(f(f(f(y)))+y)=2y\stackrel{(2)}{\Rightarrow }f(3y-f(y))=2y\Rightarrow f(3f(f(y))-f(f(f(f(y)))))=2f(f(y))$$
$$\stackrel{(2)}{\Rightarrow }f(3f(f(y))+f(y)-2y)=2f(f(y)),\forall y\in \mathbb{R}$$
Từ đây ta có được
$$f(3f(f(y))+f(y)-2y)=f(y+f(y))\Rightarrow 3f(f(y))=3y\Rightarrow f(f(y))=y$$
$$\stackrel{(3)}{\Rightarrow }f(-y)=-y\Rightarrow f(y)=y,\forall y\in \mathbb{R}.$$
Thử lại ta thấy thỏa, vậy $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$. $\square$