Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi
$$u_1=3\text{ vaˋ }{u}_{n+1}=\frac{2026u_n^2}{2026u_n-2025}(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }).$$
a) Chứng minh ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=+\infty$.
b) Tìm tất cả các giá trị $\alpha \in \mathbb{R}$ sao cho dãy số $(v_n)$, với $v_n=u_n\cdot n^{\alpha }$, là hội tụ và có giới hạn khác 0.

Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f(f(x)+y)+f(-x+f(f(y)))=2y,\forall x,y\in \mathbb{R}.$$
a) Chứng minh $f$ là một song ánh.
b) Tính $f(0)$ và tìm tất cả các hàm số $f$ thỏa mãn phương trình hàm đã cho.

Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $BC$ cố định (không phải là đường kính). Điểm $A$ di động trên cung lớn $BC$ ($A$ khác $B,C$). Đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ có tâm $I$ và tiếp xúc với ba cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Gọi $P$ là chân đường cao từ $D$ xuống $EF$. Các tia $BP,CP$ cắt các cạnh $AC,AB$ lần lượt tại $Y,Z$.
a) Chứng minh $YZ$ là tiếp tuyến của đường tròn $(I)$.
b) Tia $IP$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $R$. Chứng minh rằng khi $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$ thì đường thẳng $RD$ luôn đi qua một điểm cố định.

Với mỗi số tự nhiên $m$, ta kí hiệu $v_2(m)$ là số tự nhiên $k$ lớn nhất thỏa mãn $2^k\mid m$. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ thỏa mãn các điều kiện:
(i) $n$ không là một lũy thừa của 3;
(ii) Dãy số $v_2(3^0-n),v_2(3^1-n),v_2(3^2-n),\dots$ là một dãy số không bị chặn.