Cho dãy số thực $(u_n)$ thỏa mãn:
$$u_1=2,(u_{n+1}+1)u_n=u_n{\left(\sqrt{u_n}+1\right)}^2+1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$
a) Chứng minh rằng $3n-1\le u_n<(n+1{)}^2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
b) Chứng minh rằng $\frac{1}{u_1}+\frac{2}{u_2}+\cdots +\frac{n}{u_n}>\ln \frac{n+2}{2}-1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Vì $u_1=2>0$, dễ dàng quy nạp được $u_n>0$.
Ta có:
$$u_{n+1}=u_n+2\sqrt{u_n}+\frac{1}{u_n}$$
Ta thấy rằng $(u_n)$ là dãy tăng.
Ta có: $2\le u_1=2<2^2$.
Ta chứng minh quy nạp rằng $3n-1\le u_n<(n+1{)}^2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (*).
Giả sử (*) đúng với $n=k\ge 1$, tức $3k-1\le u_k<(k+1{)}^2$.
$$u_{k+1}=u_k+2\sqrt{u_k}+\frac{1}{u_k}$$
$$\ge 3k-1+\left(\sqrt{u_k}+\sqrt{u_k}+\frac{1}{u_k}\right)$$
$$\stackrel{AM-GM}{\ge }3k-1+3=3(k+1)-1(\ast \ast )$$
Mặt khác,
$$u_{k+1}=u_k+2\sqrt{u_k}+\frac{1}{u_k}<u_k+2\sqrt{u_k}+1={\left(\sqrt{u_k}+1\right)}^2$$
$$\Rightarrow u_{k+1}<(k+1+1{)}^2(\ast \ast \ast )$$
Vậy từ (**) và (***) ta có (*) đúng với $n=k+1$ nên theo nguyên lý quy nạp ta có $3n-1\le u_n<(n+1{)}^2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

b) Từ kết quả câu a), ta có $u_k<(k+1{)}^2,\forall k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Suy ra:
$$\frac{k}{u_k}>\frac{k}{(k+1{)}^2}=\frac{(k+1)-1}{(k+1{)}^2}=\frac{1}{k+1}-\frac{1}{(k+1{)}^2}$$
$$\Rightarrow \sum _{k=1}^n\frac{k}{u_k}>\sum _{k=1}^n\frac{1}{k+1}-\sum _{k=1}^n\frac{1}{(k+1{)}^2}(1)$$
Ta có bất đẳng thức sau
$$\frac{1}{x}\ge \ln (x+1)-\ln (x),\forall x>0(2)$$
Thật vậy, đặt $f(x)=x-\ln (1+x),\forall x\ge 0$.
Ta có $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{1+x}\ge 0,\forall x\ge 0$.
Vậy $f$ tăng trên $[0;+\infty )$.
Do đó $x-\ln (1+x)=f(x)\ge f(0)=0$.
Vậy $\frac{1}{x}\ge \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=\ln (x+1)-\ln (x),\forall x>0$.
Trở lại bài toán, từ (2) ta có
$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k+1}\ge \sum _{k=1}^n[\ln (k+2)-\ln (k+1)]=\ln (n+2)-\ln 2=\ln \frac{n+2}{2}\text{\hspace{1em}(3)}$$
Ta có:
$$\frac{1}{(k+1{)}^2}<\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$
$$\Rightarrow \sum _{k=1}^n\frac{1}{(k+1{)}^2}<\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}<1$$
$$\Rightarrow -\sum _{k=1}^n\frac{1}{(k+1{)}^2}>-1\text{\hspace{1em}(4)}$$
Từ (1), (2), (3) và (4), ta được
$$\frac{1}{u_1}+\frac{2}{u_2}+\cdots +\frac{n}{u_n}>\ln \frac{n+2}{2}-1$$
Vậy ta có điều phải chứng minh.