Câu 2HSG#Thiếu hình vẽ#flag:missing_figure
Cho tam giác không cân có , tương ứng là chân đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại khác . Giả sử và cắt nhau tại . Gọi là giao điểm của và ; là giao điểm của và ; là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
a) Chứng minh rằng các điểm , , , cùng thuộc một đường tròn và vuông góc với .
b) Giả sử và cắt nhau tại . Chứng minh rằng ba điểm , , thẳng hàng.
Cho tam giác không cân có , tương ứng là chân đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại khác . Giả sử và cắt nhau tại . Gọi là giao điểm của và ; là giao điểm của và ; là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
a) Chứng minh rằng các điểm , , , cùng thuộc một đường tròn và vuông góc với .
b) Giả sử và cắt nhau tại . Chứng minh rằng ba điểm , , thẳng hàng.
a) Chứng minh rằng các điểm , , , cùng thuộc một đường tròn và vuông góc với .
b) Giả sử và cắt nhau tại . Chứng minh rằng ba điểm , , thẳng hàng.
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
a) Vì là cặp phân giác trong, ngoài nên .
nội tiếp nên hay .
Do đó là trực tâm , nên là đường cao .
nội tiếp.
Gọi là tâm , để ý là tâm Euler và trực tâm nên thẳng hàng.
Ta có:
tương tự:
Từ đó, thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn nên
hay (vì thẳng hàng).
b) Tương tự câu a), ta có:
nên thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn .
Suy ra thẳng hàng.
Bình luận: Bài toán trên thật ra là mô hình trục tâm kết hợp kiến thức về phương tích, trục đẳng phương.
nội tiếp nên hay .
Do đó là trực tâm , nên là đường cao .
nội tiếp.
Gọi là tâm , để ý là tâm Euler và trực tâm nên thẳng hàng.
Ta có:
tương tự:
Từ đó, thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn nên
hay (vì thẳng hàng).
b) Tương tự câu a), ta có:
nên thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn .
Suy ra thẳng hàng.
Bình luận: Bài toán trên thật ra là mô hình trục tâm kết hợp kiến thức về phương tích, trục đẳng phương.
