Xét một quân cờ đặt ở ô trung tâm của bảng ô vuông cỡ $9\times 9$. Di chuyển ngẫu nhiên quân cờ 4 nước, mỗi nước quân cờ đi sang ô chung 1 đỉnh hoặc chung 1 cạnh với ô trước đó. Có bao nhiêu cách di chuyển để sau 4 nước, quân cờ quay trở lại ô trung tâm?

Câu 5 (2,0 điểm)

Đánh số một số ô của bảng như hình vẽ, trong đó ô xuất phát là ô số 0.

TH1: Bước 1 quân cờ đi thẳng: có 4 cách chọn ô là các ô số 1, 2, 3, 4. Vì các ô này có vai trò bình đẳng nên không mất tổng quát giả sử quân cờ đi lên ô số 1.

Khi đó xét bước thứ 2, có 5 khả năng:
+) Nếu quân cờ đi lên ô 10 thì bước 3 chỉ có thể đi về các ô 5, 1, 6 để bước 4 về 0 → khả năng này có 3 cách.
+) Nếu quân cờ đi lên một trong các ô 9, 11. Chẳng hạn nếu đi lên ô 9 thì bước 3 chỉ có thể đi về các ô 5, 1 để bước 4 về 0 → khả năng này có $2.2=4$ cách.
+) Nếu quân cờ đi sang một trong các ô 5, 6. Chẳng hạn nếu đi sang ô 5 thì bước 3 chỉ có thể đi về các ô 1, 2 để bước 4 về 0 → khả năng này có $2.2=4$ cách.
+) Nếu quân cờ đi về một trong các ô 2, 3. Chẳng hạn nếu đi về ô 2 thì bước 3 chỉ có thể đi sang các ô 5, 1, 7, 4 để bước 4 về 0 → khả năng này có $2.4=8$ cách.
+) Nếu quân cờ đi về ô 0 thì bước 3 có thể đi sang các ô 5, 1, 6, 2, 3, 7, 4, 8 để bước 4 lại về 0 → khả năng này có 8 cách.
Tóm lại TH1 có $4(3+4+4+8+8)=108$ cách.

TH2: Bước 1 quân cờ đi chéo: có 4 cách chọn ô là các ô số 5, 6, 7, 8. Vì các ô này có vai trò bình đẳng nên không mất tổng quát giả sử quân cờ đi lên ô số 6. Khi đó xét bước thứ 2, có 5 khả năng:
+) Nếu quân cờ đi lên ô 12 thì bước 3 chỉ có thể đi về ô 6 để bước 4 về 0 → khả năng này có 1 cách.
+) Nếu quân cờ đi sang một trong các ô 11, 13. Chẳng hạn nếu đi lên ô 11 thì bước 3 chỉ có thể đi về các ô 1, 6 để bước 4 về 0 → khả năng này có $2.2=4$ cách.
+) Nếu quân cờ đi sang một trong các ô 10, 14. Chẳng hạn nếu đi sang ô 10 thì bước 3 chỉ có thể nhảy về các ô 5, 1, 6 để bước 4 về 0 → khả năng này có $2.3=6$ cách.
+) Nếu quân cờ đi sang một trong các ô 1, 3. Chẳng hạn nếu đi sang ô 1 thì bước 3 chỉ có thể đi về các ô 5, 6, 2, 3 để bước 4 về 0 → khả năng này có $2.4=8$ cách.
+) Nếu quân cờ đi về ô 0 thì bước 3 có thể đi sang các ô 5, 1, 6, 2, 3, 7, 4, 8 để bước 4 lại về 0 → khả năng này có 8 cách.
Tóm lại TH2 có $4(1+4+6+8+8)=108$ cách.

Vậy số cách di chuyển thoả mãn bài toán là $108+108=216$ cách.