Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình hai căn và điều kiện tương đương (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x\ge 5$. Phương trình $\sqrt{x-3}=\sqrt{3x-15}$, bình phương hai vế: $x-3=3x-15\Rightarrow 2x=12\Rightarrow x=6$ (thỏa điều kiện). Vậy $x=\frac{6}{1}$ tối giản, $m=6$, $n=1$, nên $m\cdot n=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (các biểu thức trong căn đều dương với mọi $x$): $2x^2+x+3=x^2+2x+5\iff x^2-x-2=0\iff (x-2)(x+1)=0$, nên $x=2$ hoặc $x=-1$. Trong các đáp án, chỉ có $x=2$ (kiểm tra: $\sqrt{13}=\sqrt{13}$).

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $3x^2+6x+3=2x^2-5x+3\iff x^2+11x=0\iff x=0$ hoặc $x=-11$. Thử $x=0$: hai vế đều bằng $\sqrt{3}$, thỏa mãn. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $3x^2-6x+1=x^2-3\iff 2x^2-6x+4=0\iff x=1$ hoặc $x=2$. Thử lại: $x=1$ cho $x^2-3=-2<0$ (loại); $x=2$ cho hai vế đều bằng $\sqrt{1}=1$ (nhận). Vậy $x=2\in [2;4)$, khớp đáp án C của mã đề 002.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2+x-1=3x^2-2x\iff 2x^2-3x+1=0\iff x=1$ hoặc $x=\frac{1}{2}$. Kiểm tra: tại $x=\frac{1}{2}$, $x^2+x-1=-\frac{1}{4}<0$ nên loại; tại $x=1$, hai vế đều bằng $1$, thỏa mãn. Vậy nghiệm $x=1\in \left(\frac{1}{2};3\right)$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
(1): Bình phương hai vế: $x^2-x-2=-x^2+2x+3\iff 2x^2-3x-5=0\iff x=\frac{5}{2}$ hoặc $x=-1$. Thử lại: tại $x=\frac{5}{2}$, cả hai biểu thức trong căn đều bằng $\frac{7/4}{\ge }0$; tại $x=-1$ cả hai bằng $0$. Vậy (1) có 2 nghiệm phân biệt, tổng $\frac{5}{2}+(-1)=\frac{3}{2}$. (2): Bình phương: $x+2=3x^2-x+1\iff 3x^2-2x-1=0\iff x=1$ hoặc $x=-\frac{1}{3}$. Thử lại: $x=1$: $\sqrt{3}=\sqrt{3}$ đúng; $x=-\frac{1}{3}$: $\sqrt{\frac{5}{3}}=\sqrt{\frac{5}{3}}$ đúng. Vậy (2) có 2 nghiệm (không phải 1 nghiệm), tổng $1+\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(1) có 2 nghiệm phân biệt $x=\frac{5}{2}$ và $x=-1$, đều thỏa điều kiện.
b) (AI giải đề cho tôi)
(2) có 2 nghiệm $x=1$ và $x=-\frac{1}{3}$, không phải 1 nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng nghiệm của (1): $\frac{5}{2}+(-1)=\frac{3}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng nghiệm của (2): $1+\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Bình phương: $4x^2-3x-3=2x+3\iff 4x^2-5x-6=0$, $\Delta =121$, $x=2$ hoặc $x=-\frac{3}{4}$. Cả hai đều thỏa $2x+3\ge 0$ (tại $x=-\frac{3}{4}$: $2x+3=\frac{3}{2}>0$) và $4x^2-3x-3=\frac{3}{2}>0$ → 2 nghiệm phân biệt, đúng.
b) Bình phương: $x^2+12x+28=2x^2+14x+24\iff x^2+2x-4=0\iff x=-1\pm \sqrt{5}$. Với $x=-1-\sqrt{5}\approx -3,236$: $x^2+12x+28\approx -0,36<0$ (loại) → chỉ còn 1 nghiệm $x=-1+\sqrt{5}$, sai.
c) Bình phương: $-4x^2-5x+8=2x^2+2x-2\iff 6x^2+7x-10=0$, $\Delta =289$, $x=\frac{5}{6}$ hoặc $x=-2$. Kiểm tra: tại $x=\frac{5}{6}$, $2x^2+2x-2=\frac{19}{18}>0$, $-4x^2-5x+8=\frac{19}{36}>0$; tại $x=-2$: cả hai biểu thức bằng $2>0$ → 2 nghiệm phân biệt, đúng.
d) Bình phương: $2x^2-12x-14=5x^2-26x-6\iff 3x^2-14x+8=0$, $\Delta =100$, $x=4$ hoặc $x=\frac{2}{3}$. Điều kiện $2x^2-12x-14\ge 0\iff x\le -1$ hoặc $x\ge 7$; cả hai nghiệm đều không thỏa → vô nghiệm, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$4x^2-5x-6=0$ cho $x=2,x=-\frac{3}{4}$, đều thỏa điều kiện $2x+3\ge 0$ → 2 nghiệm phân biệt.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x=-1-\sqrt{5}$ làm $x^2+12x+28<0$ nên bị loại; chỉ còn 1 nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
$6x^2+7x-10=0$ cho $x=\frac{5}{6},x=-2$, đều thỏa điều kiện cả hai biểu thức dưới căn không âm → 2 nghiệm phân biệt.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x=4$ và $x=\frac{2}{3}$ đều không thỏa $2x^2-12x-14\ge 0$ (cần $x\le -1$ hoặc $x\ge 7$) → vô nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2-7\ge 0\Rightarrow x^2\ge 7$ và $1-x^2\ge 0\Rightarrow x^2\le 1$. Không tồn tại $x$ thỏa cả hai điều kiện, nên phương trình vô nghiệm. Số nghiệm là 0.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2+2x-3=15-5x\iff x^2+7x-18=0\iff (x-2)(x+9)=0$, được $x=2$ hoặc $x=-9$. Kiểm tra điều kiện: với $x=2$, $15-5x=5\ge 0$, $x^2+2x-3=5\ge 0$ (thỏa); với $x=-9$, $15-5x=60\ge 0$, $x^2+2x-3=60\ge 0$ (thỏa). Cả hai nghiệm đều hợp lệ, tổng $S=2+(-9)=-7$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2-4x-5=2x^2+3x+1\iff x^2+7x+6=0\iff (x+1)(x+6)=0$. Kiểm tra điều kiện $x^2-4x-5\ge 0$ (tức $x\le -1$ hoặc $x\ge 5$): với $x=-1$, hai vế đều bằng 0; với $x=-6$, hai vế đều bằng $\sqrt{55}$. Vậy phương trình (*) có 2 nghiệm $x=-1$ và $x=-6$, tổng bằng $-7$. a) Sai vì kết quả đúng là $x^2+7x+6=0$ chứ không phải $x^2-7x+6=0$. b) Đúng. c) Sai, tổng bằng $-7$. d) Sai, có 2 nghiệm phân biệt.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế được $x^2-4x-5=2x^2+3x+1\iff x^2+7x+6=0$, không phải $x^2-7x+6=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=-1$: $\sqrt{1+4-5}=0=\sqrt{2-3+1}$, thỏa mãn.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai nghiệm là $x=-1$ và $x=-6$, tổng bằng $-7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x=-1$ và $x=-6$ (đều thỏa điều kiện và thay lại đúng).

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $5x^2-8x+2=x^2+2\iff 4x^2-8x=0\iff 4x(x-2)=0$, nên $x=0$ hoặc $x=2$. Thử lại: $x=0$: $\sqrt{2}=\sqrt{2}$ đúng; $x=2$: $\sqrt{20-16+2}=\sqrt{6}=\sqrt{6}$ đúng. Vậy (*) có 2 nghiệm $x=0,x=2$, tổng bằng $2$. a) Đúng vì $x^2+2\ge 2>0$ với mọi $x$. b) Sai, phương trình sau khi bình phương là $4x^2-8x=0$ chứ không phải $4x^2-3x=0$. c) Đúng, có 2 nghiệm $x=0$ và $x=2$ (đều thỏa mãn). d) Sai, tổng các nghiệm bằng $0+2=2\ne 0$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$x^2\ge 0$ nên $x^2+2\ge 2>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $5x^2-8x+2=x^2+2\iff 4x^2-8x=0$, không phải $4x^2-3x=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$4x^2-8x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$, cả hai đều thỏa phương trình gốc nên (*) có 2 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các nghiệm là $0+2=2\ne 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $2x^2+3x-8=x^2-4\iff x^2+3x-4=0\iff x=1$ hoặc $x=-4$. Kiểm tra điều kiện $x^2-4\ge 0$: $x=1$ loại vì $1-4<0$; $x=-4$ thỏa ($16-4=12\ge 0$, và $2\cdot 16-12-8=12$ khớp). Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2-4x-5=2x^2+3x+1\iff x^2+7x+6=0\iff x=-1$ hoặc $x=-6$. Kiểm tra điều kiện: tại $x=-1$, cả hai biểu thức dưới căn bằng $0$; tại $x=-6$, cả hai bằng $55$. Cả hai nghiệm thỏa mãn. Tổng bình phương các nghiệm: $(-1{)}^2+(-6{)}^2=1+36=37$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 21.
a) Điều kiện: $-4x+4\ge 0\iff x\le 1$ và $-x^2+1\ge 0\iff -1\le x\le 1$, nên $-1\le x\le 1$. Bình phương hai vế: $-4x+4=-x^2+1\iff x^2-4x+3=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Vì $x\le 1$ nên chỉ nhận $x=1$. Thử lại: $\sqrt{0}=\sqrt{0}$ đúng. Vậy $S=\{1\}$.
b) Phương trình $\sqrt{-2x^2+x+7}+3=x\iff \sqrt{-2x^2+x+7}=x-3$, điều kiện $x\ge 3$ (và $-2x^2+x+7\ge 0\iff -\frac{3}{2}\le x\le 2$, mâu thuẫn với $x\ge 3$ nên phương trình vô nghiệm ngay). Bình phương: $-2x^2+x+7=x^2-6x+9\iff 3x^2-7x+2=0\iff x=2$ hoặc $x=\frac{1}{3}$, đều không thỏa $x\ge 3$. Vậy phương trình vô nghiệm, $S=\varnothing$.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $2x^2-5x+1=x^2+2x-9\iff x^2-7x+10=0\iff x=2$ hoặc $x=5$. Kiểm tra điều kiện biểu thức dưới dấu căn không âm: với $x=2$: $2(4)-10+1=-1<0$ (loại); với $x=5$: $2(25)-25+1=26=25+10-9\ge 0$ (thỏa). Vậy $S=\{5\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2+x-1\ge 0$ và $x^2-x-3\ge 0$. Bình phương hai vế: $x^2+x-1=x^2-x-3\iff 2x=-2\iff x=-1$. Thử lại: $x=-1$ cho $x^2+x-1=-1<0$, không thỏa mãn điều kiện (cả hai vế đều âm, không tồn tại căn). Vậy phương trình vô nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (điều kiện: cả hai biểu thức dưới dấu căn không âm, sẽ kiểm tra sau). Từ $\sqrt{x^2-x+1}=\sqrt{x^2+x-3}$ suy ra $x^2-x+1=x^2+x-3$, tức $-x+1=x-3\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2$. Thử lại: $x^2-x+1=4-2+1=3>0$ và $x^2+x-3=4+2-3=3>0$, cả hai vế đều xác định và $\sqrt{3}=\sqrt{3}$. Vậy $x=2$ là nghiệm duy nhất (do hai vế là hàm căn nên phép bình phương là tương đương khi biểu thức dưới căn bằng nhau).

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2-2x-3=2x^2+x-3\iff x^2+3x=0\iff x=0$ hoặc $x=-3$. Kiểm tra điều kiện: với $x=0$, $x^2-2x-3=-3<0$ (loại). Với $x=-3$: hai vế bằng $\sqrt{12}=\sqrt{12}$, thỏa mãn. Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x-1\ge 0\iff x\ge \frac{1}{2}$ và $x-2\ge 0\iff x\ge 2$. Bình phương hai vế: $2x-1=(x-2{)}^2\iff x^2-6x+5=0\iff x=1$ hoặc $x=5$. So điều kiện $x\ge 2$: chỉ nhận $x=5$ (thử lại $\sqrt{9}=3=5-2$ đúng; $x=1$ bị loại vì $x-2<0$). Vậy $S=\{5\}$, khớp đáp án B (mã đề 104, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (các biểu thức trong căn đều xác định khi bằng nhau): $3x^2-4x-1=2x^2-4x+3\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$. Thử lại: với $x=2$, $3x^2-4x-1=3\ge 0$; với $x=-2$, $=19\ge 0$, cả hai đều thỏa. Tích các nghiệm $2\cdot (-2)=-4$, khớp đáp án nguồn (mã đề 104, Câu 4: -4).