Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(x-3{)}^2=\frac{14}{3}$ và đường thẳng $d:\frac{x-4}{3}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-4}{1}$. Gọi $A(x_0;y_0;z_0)(x_0>0)$ là điểm nằm trên đường thẳng $d$ sao cho từ $A$ kẻ được ba tiếp tuyến đến mặt cầu $(S)$ và các tiếp điểm $B,C,D$ sao cho $ABCD$ là tứ diện đều . Tính giá trị của $P=x_0+y_0+z_0$ .

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, một tàu ngầm đang di chuyển dưới biển sâu với hướng di chuyển theo đường thẳng $\Delta :\frac{x-50}{3}=\frac{y+20}{-4}=\frac{z-10}{1}$. Hải quân phát hiện một khu vực nguy hiểm được rải mìn, khu vực này có dạng hình cầu $(S)$ với tâm $C(200;-300;60)$ và bán kính $R=80$ (đơn vị đo là mét). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Các thiên thạch có đường kính lớn hơn $150m$ và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn $8000000km$ được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá $10600km$ km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính $6400km$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong không gian có gốc $O$ tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $1000km$. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm $M(2;-32;9)$ đến điểm $N(-1;28;18)$.



Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là bao nhiêu $km$? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A(0;0;0),B(3;0;0)$, $D(0;3;0),A^{\prime }(0;0;3)$. Mặt cầu $(S)$ có phương trình dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$, tiếp xúc với hai đường thẳng $B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$. Khi thể tích của khối cầu $(S)$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của $d$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y+6z-13=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+4}{2}=\frac{z+1}{1}$. Điểm $M$ nằm trên đường thẳng $d$ sao cho từ $M$ kẻ được ba tiếp tuyến $MA,MB,MC$ đến mặt cầu $(S)$ ($A,B,C$ là các tiếp điểm) thỏa mãn $\widehat{AMB}=60^{\circ }$, $\widehat{BMC}=90^{\circ }$, $\widehat{CMA}=120^{\circ }$. Biết điểm $M$ có tọa độ $(a;b;c)$ với $c>0$. Tính tổng $a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $S(-2;1;-2)$ nằm trên mặt cầu $(\mathcal{S}):x^2+y^2+z^2=9$. Từ điểm $S$ kẻ ba dây cung $SA,SB,SC$ với mặt cầu $(\mathcal{S})$ có độ dài bằng nhau và đôi một tạo với nhau góc $60^{\circ }$. Dây cung $AB$ có độ dài bằng

Cho đường thẳng $d$ cắt mặt cầu $S(O;R)$ tại hai điểm phân biệt. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên đường thẳng $d$. Khẳng định nào sau đây là đúng?