Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y+6z-13=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+4}{2}=\frac{z+1}{1}$. Điểm $M$ nằm trên đường thẳng $d$ sao cho từ $M$ kẻ được ba tiếp tuyến $MA,MB,MC$ đến mặt cầu $(S)$ ($A,B,C$ là các tiếp điểm) thỏa mãn $\widehat{AMB}=60^{\circ }$, $\widehat{BMC}=90^{\circ }$, $\widehat{CMA}=120^{\circ }$. Biết điểm $M$ có tọa độ $(a;b;c)$ với $c>0$. Tính tổng $a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $S(-2;1;-2)$ nằm trên mặt cầu $(\mathcal{S}):x^2+y^2+z^2=9$. Từ điểm $S$ kẻ ba dây cung $SA,SB,SC$ với mặt cầu $(\mathcal{S})$ có độ dài bằng nhau và đôi một tạo với nhau góc $60^{\circ }$. Dây cung $AB$ có độ dài bằng

Cho đường thẳng $d$ cắt mặt cầu $S(O;R)$ tại hai điểm phân biệt. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên đường thẳng $d$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với độ dài $10\text{ km}$. Một trạm radar cố định được đặt ở gốc tọa độ $O(0;0;0)$ và có thể phát hiện được các vật thể trong phạm vi bán kính không quá $50\text{ km}$. Một tàu cứu hộ di chuyển theo đường thẳng từ vị trí $M(4;6;-1)$ đến vị trí $N(-1;-4;4)$ với vận tốc không đổi là $60\text{ km/h}$. Hỏi tàu cứu hộ nằm trong vùng phủ sóng của trạm radar trong khoảng thời gian bao nhiêu phút? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=9$ và điểm $A(2;3;4)$. Từ $A$ kẻ đường thẳng tiếp xúc với $(S)$ tại $M$. Tập hợp các điểm $M$ là một đường tròn có bán kính bằng

Một trạm kiểm soát không lưu sử dụng hệ thống ra-đa để theo dõi máy bay trong phạm vi bán kính $500\text{ km}$. Trong hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị: $\text{km}$), ra-đa đặt tại $O(0;0;0)$. Một máy bay đang bay tại vị trí $A(0;0;300)$ và tiếp tục bay theo hướng của vectơ $\vec{u}=(3;4;0)$. Giả sử máy bay bay thẳng và rời khỏi vùng theo dõi, khi đó khoảng cách từ vị trí $A$ đến vị trí cuối cùng của máy bay xuất hiện trên màn hình ra-đa bằng bao nhiêu kilômet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Một nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu (mặt đầu sóng là mặt cầu). Khi gắn trên hệ trục tọa độ $Oxyz$ với đơn vị trên mỗi trục là mét, vị trí nguồn âm có tọa độ $(0;-3;-1)$, cường độ âm chuẩn phát ra có bán kính là $10$ mét. Một bạn học sinh di chuyển theo phương thẳng từ vị trí $N(7;10;-4)$ đến vị trí $M(5;0;2)$ để nhận nguồn âm.

Khi bạn học sinh đó di chuyển từ $N$ đến $M$ thì vị trí đầu tiên nhận được nguồn âm là $A(x_0;y_0;z_0)$. Tính tổng $x_0+y_0+z_0$.