Một trạm kiểm soát không lưu sử dụng hệ thống ra-đa để theo dõi máy bay trong phạm vi bán kính $500\text{ km}$. Trong hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị: $\text{km}$), ra-đa đặt tại $O(0;0;0)$. Một máy bay đang bay tại vị trí $A(0;0;300)$ và tiếp tục bay theo hướng của vectơ $\vec{u}=(3;4;0)$. Giả sử máy bay bay thẳng và rời khỏi vùng theo dõi, khi đó khoảng cách từ vị trí $A$ đến vị trí cuối cùng của máy bay xuất hiện trên màn hình ra-đa bằng bao nhiêu kilômet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Một nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu (mặt đầu sóng là mặt cầu). Khi gắn trên hệ trục tọa độ $Oxyz$ với đơn vị trên mỗi trục là mét, vị trí nguồn âm có tọa độ $(0;-3;-1)$, cường độ âm chuẩn phát ra có bán kính là $10$ mét. Một bạn học sinh di chuyển theo phương thẳng từ vị trí $N(7;10;-4)$ đến vị trí $M(5;0;2)$ để nhận nguồn âm.

Khi bạn học sinh đó di chuyển từ $N$ đến $M$ thì vị trí đầu tiên nhận được nguồn âm là $A(x_0;y_0;z_0)$. Tính tổng $x_0+y_0+z_0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=1+2t\\ z=2+t\end{array}$. Gọi $(S)$ là mặt cầu có tâm $I(1;0;1)$ và cắt đường thẳng $d$ tại hai điểm $A,B$ sao cho tam giác $IAB$ là tam giác vuông. Điểm nào có tọa độ sau đây thuộc $(S)$?

Tại một công ty xăng dầu, người kĩ sư xây dựng cần thiết kế một bồn chứa xăng hình cầu (như hình vẽ). Trên bản thiết kế, trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, bồn chứa hình cầu $(S)$ có tâm $I(10;16;12)$, bán kính $R=\sqrt{101}$. Mặt đất chính là mặt phẳng $(Oxy)$. Từ điểm $A(5;0;0)$ người kĩ sư thiết kế một cầu thang thứ nhất đi thẳng lên đến mặt cầu tại điểm $B$ thuộc mặt cầu, sao cho cầu thang $AB$ là đường thẳng tiếp xúc mặt cầu $(S)$ tại điểm $B$ (hoành độ điểm $B$ thỏa $x_B>10$). Biết rằng đường thẳng $AB$ tạo với mặt đất $(Oxy)$ một góc nhọn $\alpha$ có $\sin \alpha =\frac{1}{3}$. Sau đó người kĩ sư thiết kế một cầu thang thứ hai có dạng cung tròn đi dọc theo mặt cầu, đi từ điểm $B$ lên tới đỉnh cao nhất của mặt cầu so với mặt đất. Gọi $T$ là tổng độ dài của cả hai cầu thang được thiết kế. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của $T$ (không tính kích thước của nguyên vật liệu được sử dụng để làm hai đoạn cầu thang nói trên). *(Nếu ra số gần đúng thì làm tròn kết quả đến hàng phần chục)*

Tại một khu nông trường công nghệ cao, người ta lắp đặt một bồn chứa dung dịch thủy canh có dạng hình cầu $(S)$. Để kiểm tra bề mặt của bồn chứa, một thiết bị bay không người lái (flycam) được lập trình để bay đến lơ lửng tại vị trí $A$. Từ $A$, flycam phát ra các tia quét laser để dò tìm lỗi bề mặt. Các tia quét này chạm (tiếp xúc) với bề mặt bồn chứa tại các điểm $M$. Sau khi hoàn thành thao tác quét tại $A$, flycam được lập trình bay thẳng về trạm sạc theo một quỹ đạo là đường thẳng $d$.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị tính bằng mét), giả sử bồn chứa hình cầu có phương trình $(S):(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z+1{)}^2=9$, vị trí lơ lửng ban đầu của flycam là $A(2;-2;3)$ và quỹ đạo bay về trạm sạc nằm trên đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z-3}{3}$.

Trong một căn phòng (được mô phỏng bởi hệ tọa độ $Oxyz$ với đơn vị độ dài là đề-xi-mét), người ta có treo một quả cầu trang trí với phương trình bề mặt là $(S):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=25$. Một con nhện đang phục kích ở vị trí $T(-1;2;-10)$ trên trần nhà, nó phát hiện ra một con muỗi đang đậu trên bề mặt quả cầu tại vị trí $M(-1;-3;3)$. Nó quyết định tấn công bằng cách thả tơ rơi thẳng xuống, chạm vào bề mặt quả cầu $(S)$ tại một điểm $P$ (biết đường thẳng $TP$ là tiếp tuyến của mặt cầu). Ngay khi chạm vào quả cầu, nhện lập tức bò trên bề mặt $(S)$ bằng con đường ngắn nhất để bắt con muỗi. Biết tốc độ đu tơ của nhện là $4\text{ dm/s}$ và tốc độ bò trên bề mặt quả cầu là $1,5\text{ dm/s}$. Hãy tính thời gian ngắn nhất (giây) kể từ lúc nhện bắt đầu thả tơ cho đến khi bắt được muỗi. (*Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm*).

Một radar phòng không được đặt tại vị trí gốc tọa độ $O(0;0;0)$ trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị trên các trục tọa độ ứng với $1\text{ km}$. Radar có bán kính phủ sóng $250\text{ km}$, tức là các mục tiêu bay cách radar không quá $250\text{ km}$ sẽ bị theo dõi và xuất hiện trên màn hình radar. Một máy bay không người lái (UAV) xuất phát từ vị trí điểm $A(1000;-450;0)$, bay theo đường thẳng và đi qua vị trí điểm $B(968;-435;1)$ với tốc độ không đổi bằng $800\text{ km/h}$. UAV mang thiết bị gây nhiễu có tầm hoạt động hiệu quả $50\text{ km}$, tức là nếu UAV bay cách radar không quá $50\text{ km}$ thì sẽ gây nhiễu được radar (không bị theo dõi bởi radar), trong trường hợp không gây nhiễu được thì UAV vẫn bị theo dõi nếu nằm trong tầm phủ sóng của radar.