Một đường hầm hiện đại được thiết kế với mặt đáy là hình thang $ACDF$ vuông tại $A$ và $C$ ($AF\parallel CD$). Xét một thiết diện bất kì của đường hầm vuông góc với $AC$ là một hình phẳng giới hạn bởi đường cong $(P)$, đoạn $BE$ và đoạn $BG$ như hình vẽ ($G$ thuộc $(P)$). Giả sử $(P)$ là một nhánh của parabol có đỉnh $S$ và hình chiếu của $S$ trên mặt nền là $H$, $E$ là chân của parabol ($E$ thuộc $(P)$ và mặt đáy) thì $SH=2EH$. Một mặt bên đường hầm có dạng mặt phẳng vuông góc với mặt đáy chứa đường thẳng $AC$, gọi $B$ là hình chiếu vuông góc của $G$ xuống mặt phẳng đáy thì $BE=BG$ và $B$ thuộc đoạn $AC$. Biết $AC=30\text{ m}$, $AF=2CD=12\text{ m}$. Thể tích đường hầm trên bằng bao nhiêu mét khối?

Lời giải: Chọn trục $Ox$ trùng với đường thẳng $AC$, gốc $O$ tại $A$. Khi đó vị trí của lát cắt $B$ có tọa độ $x\in [0;30]$. Vì $ACDF$ là hình thang vuông tại $A$ và $C$ nên đoạn $BE(x)$ vuông góc với $AC$ và giảm bậc nhất từ $AF=12$ về $CD=6$:
$BE(x)=12-\frac{12-6}{30}x=12-\frac{1}{5}x$.
Đặt chiều dài đoạn này là $y_0=BE(x)$. Tại lát cắt này, thiết diện là một phần hệ trục tọa độ phẳng có bức tường đứng $BG=BE=y_0$. Nhánh parabol $(P)$ đi qua $G(0;y_0)$ và chân $E(y_0;0)$. Đỉnh $S$ của parabol có hình chiếu $H$ nằm trên đoạn $BE$ sao cho $SH=2EH$. Từ tính chất hình học đối xứng của parabol, ta giải được vị trí hình chiếu đỉnh $H$ cách $B$ một khoảng bằng $\frac{y_0}{3}$, chiều cao đỉnh $SH=\frac{4y_0}{3}$.
Diện tích thiết diện tại vị trí $x$ được tính bằng tích phân phần diện tích dưới parabol giới hạn bởi các trục:
$S(x)={\int }_0^{y_0}\left[\frac{4y_0}{3}-\frac{3}{y_0}{\left(y-\frac{y_0}{3}\right)}^2\right]dy=y_0^2={\left(12-\frac{1}{5}x\right)}^2$.
Thể tích của đường hầm là:
$V={\int }_0^{30}{\left(12-\frac{1}{5}x\right)}^{2}dx={\left[-5\cdot \frac{{\left(12-\frac{1}{5}x\right)}^3}{3}\right]}_0^{30}=-\frac{5}{3}(6^3-12^3)=2520{\text{ (m}}^3\text{)}$.
Đáp số: 2520.