Một nhà máy sản xuất dòng drone chuyên dụng phục vụ cứu hộ. Nhà máy có công suất tối đa $400$ chiếc/quý. Phòng kinh doanh đưa ra các dữ liệu tài chính cho việc sản xuất và tiêu thụ hết $x$ chiếc drone ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast },x\le 400$) trong một quý như sau:
+ Giá bán mỗi chiếc drone xác định theo hàm số $P(x)=150-0,2x$ (đơn vị: triệu đồng/chiếc).
+ Chi phí vận hành cố định: $2$ tỷ đồng/quý.
+ Chi phí linh kiện: Giá gốc $70$ triệu đồng/chiếc. Nếu sản xuất trên $150$ chiếc thì chi phí linh kiện cho toàn bộ lô hàng giảm xuống còn $60$ triệu đồng/chiếc.
Lợi nhuận sau thuế lớn nhất trong một quý nhà máy có thể đạt được là bao nhiêu triệu đồng? (Biết thuế thu nhập doanh nghiệp là $20\%$ tính trên lợi nhuận dương).

Một công ty chuyên sản xuất thùng phuy để đựng hóa chất, thùng phuy có dạng hình trụ có hai nắp, thùng phuy có thể tích là $1{\text{ m}}^3$. Biết giá vật liệu để làm $1{\text{ m}}^2$ thành thùng phuy là 300 nghìn đồng, để làm $1{\text{ m}}^2$ nắp thùng phuy là 200 nghìn đồng (bề dày của vật liệu không đáng kể). Số tiền ít nhất mà công ty phải bỏ ra để làm một chiếc thùng phuy trên là bao nhiêu nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Một nhà máy chế biến cà phê bán trong nước và xuất khẩu ra nước ngoài. Nếu giá vốn sản xuất mỗi kg cà phê là $x$ USD thì sản lượng nhà máy sản xuất được là $R(x)=x-150$ (kg), và lượng tiêu thụ trong nước là $Q(x)=\sqrt{2700-x}$ (kg). Phần cà phê còn dư được xuất khẩu với giá cố định là $1900$ USD mỗi kg. Biết rằng với mỗi kg cà phê xuất khẩu thì nhà máy phải chịu mức thuế là $m$ USD. Lợi nhuận từ xuất khẩu và thuế thu được từ Nhà nước luôn giữ tỷ lệ bằng $4:1$. Hãy tìm giá trị của $m$ để lợi nhuận từ xuất khẩu đạt giá trị lớn nhất.

Một công ty công nghệ GigaCloud chuẩn bị ra mắt dịch vụ lưu trữ đám mây cao cấp dành riêng cho các doanh nghiệp lớn. Qua phân tích dữ liệu lớn (Big Data), các chuyên gia kinh tế của công ty xác lập được mô hình cầu như sau: Nếu định giá gói cước hàng tháng là $x$ (triệu đồng) thì số lượng doanh nghiệp đăng ký sử dụng $S$ (nghìn doanh nghiệp) sẽ là $S(x)=\sqrt{45-x}$ (Với điều kiện mức giá $x$ phải nhỏ hơn $45$ triệu đồng). Chi phí vận hành hệ thống của GigaCloud bao gồm hai khoản: Chi phí cố định là $10$ tỷ đồng mỗi tháng (cho cơ sở hạ tầng, nhân sự cốt lõi) và chi phí vận hành. Do đặc thù bảo mật dữ liệu, khi số lượng khách hàng tăng lên thì chi phí băng thông và bảo trì tăng theo cấp số nhân. Cụ thể, chi phí này tỷ lệ thuận với bình phương số lượng khách hàng $C_v=3S^2$ (tỷ đồng). Hãy xác định mức giá cước $x$ mà GigaCloud cần niêm yết để đạt lợi nhuận ròng hàng tháng cao nhất?

Một đoàn cứu trợ lũ lụt đang ở vị trí $A$ của một tỉnh miền trung muốn đến xã $C$ để tiếp tế lương thực và thuốc men. Để đi đến $C$, đoàn cứu trợ phải chèo thuyền từ $A$ đến vị trí $D$ với vận tốc $4\text{ km/h}$, rồi đi bộ đến $C$ với vận tốc $6\text{ km/h}$. Biết $A$ cách $B$ một khoảng $5\text{ km}$, $B$ cách $C$ một khoảng $7\text{ km}$ (hình minh họa). Hỏi vị trí $D$ cách $A$ bao nhiêu km để đoàn cứu trợ đi đến xã $C$ nhanh nhất? *(Nếu ra số gần đúng thì làm tròn kết quả đến hàng phần chục)*.

Một cái hồ rộng có hình chữ nhật, tại một góc hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí $K$ cách bờ $AB$ là $3\text{ m}$ và cách bờ $AD$ là $9\text{ m}$, rồi dùng một cây sào thẳng $PQ$ ngăn một góc của hồ để nuôi vịt (tam giác $APQ$ như hình vẽ) sao cho cây sào chạm vào hai bờ $AB,AD$ và cây cọc $K$. Tính diện tích của góc hồ nuôi vịt khi chiều dài của cây sào $PQ$ là ngắn nhất. (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của đơn vị ${\text{m}}^2$)

Ở khu du lịch D có một cửa hàng chuyên bán áo lưu niệm. Cửa hàng đã lấy hàng hóa để nhập vào kho với giá 20 nghìn đồng/cái. Cửa hàng bán lại cho khách hàng với giá 39 nghìn đồng/cái. Với giá bán như trên, cửa hàng bán được 120 cái/ngày. Trong một thời gian thực hiện giảm giá bán, cửa hàng nhận thấy rằng nếu giảm 1 nghìn đồng/cái thì trong một ngày, số áo bán được tăng thêm 15 cái. Khi giảm giá ở mức phù hợp, cửa hàng có thể thu được lợi nhuận cao nhất trong một ngày là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, tính theo đơn vị nghìn đồng)