Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y-8z-6=0$ có bán kính bằng

Nghiệm của phương trình $2^{x+3}=2^5$ là

Cho $f(x)$ là một hàm số liên tục trên đoạn $[a;b]$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-3y+z-5=0$. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$?

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_3=5$ và $u_4=7$. Công sai của cấp số cộng đó bằng

Thể tích của khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục $Ox$ hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}$, trục hoành, $x=0$ và $x=4$ là

Đồ thị của hàm số $y=2x+1-\frac{1}{x+3}$ có phương trình đường tiệm cận xiên là

Tốc độ thay đổi dòng tiền (triệu đồng/tháng) của một dự án khởi nghiệp được mô tả bởi hàm số $f(t)=t^2+at+b$, với $t$ là số tháng tính từ lúc bắt đầu ($t=0$). Tại tháng thứ $3$ ($t=3$), tốc độ dòng tiền bằng $0$. Biết rằng sau $3$ tháng đầu tiên, tổng dòng tiền tích lũy của dự án quay về mức $0$ (hòa vốn tạm thời), và trong giai đoạn dự án bị thâm hụt tốc độ dòng tiền không dương.

Cho hàm số $f(x)=2\sin x-x$ trên đoạn $[-\pi ;\pi ]$.

Các nhà khoa học thử nghiệm một loại xét nghiệm để phát hiện virus X-Omega. Tuy nhiên, bộ xét nghiệm này không chính xác hoàn toàn. Theo thống kê tại khu vực nghiên cứu:
+ Tỉ lệ người thực sự nhiễm virus là $10\%$;
+ Nếu một người nhiễm virus, xét nghiệm sẽ cho dương tính với xác suất $95\%$.
+ Nếu một người không nhiễm virus, xét nghiệm vẫn có thể cho dương tính giả với xác suất $5\%$.
Chọn ngẫu nhiên một người trong khu vực nghiên cứu.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, xét mô hình phòng không như sau: Rađa đặt tại gốc tọa độ $O(0;0;0)$, tên lửa đặt tại điểm $A(0;100;0)$; mỗi đơn vị tương ứng với $10\text{ m}$; mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất; giả sử mọi máy bay không người lái và tên lửa đều chuyển động thẳng đều. Tại thời điểm $t=0$ giây, rađa phát hiện ra máy bay ở tọa độ $M_0(12000;0;40)$; tại thời điểm $t=1$ giây rađa theo dõi thấy máy bay ở tọa độ $M_1(11990;20;38)$.

Hình bên dưới là một máy trò chơi được đơn giản hóa. Khi thả một quả bóng từ cửa vào, bóng sẽ đi qua đúng một trong bốn vị trí $A,B,C,D$. Mỗi khi bóng đi qua vị trí nào thì đèn ở vị trí đó sẽ đổi trạng thái: đang tắt thì bật, đang bật thì tắt.

Ví dụ: Nếu ban đầu tất cả đèn đều tắt, thả bóng $2$ lần mà cả $2$ lần đều đi qua $A$ thì đèn ở $A$ sẽ bật rồi lại tắt; còn nếu lần $1$ bóng đi qua $A$ rồi lần $2$ bóng đi qua $B$ thì đèn ở $A$ và $B$ đều bật.
Cứ như vậy, mỗi lần bóng đi qua thì đèn đổi trạng thái. Trò chơi kết thúc khi cả bốn đèn $A,B,C,D$ đều bật.
Gọi xác suất để trò chơi kết thúc đúng ở lần thả bóng thứ $6$ là $\frac{a}{b}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị của $a+b$ là bao nhiêu? (Biết rằng ban đầu tất cả đèn đều tắt, tại mỗi ngã rẽ, bóng đi sang hai hướng với xác suất bằng nhau).

Một đường hầm hiện đại được thiết kế với mặt đáy là hình thang $ACDF$ vuông tại $A$ và $C$ ($AF\parallel CD$). Xét một thiết diện bất kì của đường hầm vuông góc với $AC$ là một hình phẳng giới hạn bởi đường cong $(P)$, đoạn $BE$ và đoạn $BG$ như hình vẽ ($G$ thuộc $(P)$). Giả sử $(P)$ là một nhánh của parabol có đỉnh $S$ và hình chiếu của $S$ trên mặt nền là $H$, $E$ là chân của parabol ($E$ thuộc $(P)$ và mặt đáy) thì $SH=2EH$. Một mặt bên đường hầm có dạng mặt phẳng vuông góc với mặt đáy chứa đường thẳng $AC$, gọi $B$ là hình chiếu vuông góc của $G$ xuống mặt phẳng đáy thì $BE=BG$ và $B$ thuộc đoạn $AC$. Biết $AC=30\text{ m}$, $AF=2CD=12\text{ m}$. Thể tích đường hầm trên bằng bao nhiêu mét khối?

Ở địa phương $X$, người ta tính toán thấy rằng: nếu diện tích khai thác rừng hàng năm không đổi như hiện nay thì sau $40$ năm nữa diện tích rừng sẽ hết, nhưng trên thực tế thì diện tích khai thác rừng tăng trung bình hàng năm là $5\%/\text{na˘m}$. Hỏi sau bao nhiêu năm nữa diện tích rừng sẽ bị khai thác hết (làm tròn đến hàng đơn vị)? Giả thiết trong quá trình khai thác, rừng không được trồng thêm, diện tích rừng tự sinh ra và mất đi (do không khai thác) là không đáng kể.

Một nhà máy sản xuất dòng drone chuyên dụng phục vụ cứu hộ. Nhà máy có công suất tối đa $400$ chiếc/quý. Phòng kinh doanh đưa ra các dữ liệu tài chính cho việc sản xuất và tiêu thụ hết $x$ chiếc drone ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast },x\le 400$) trong một quý như sau:
+ Giá bán mỗi chiếc drone xác định theo hàm số $P(x)=150-0,2x$ (đơn vị: triệu đồng/chiếc).
+ Chi phí vận hành cố định: $2$ tỷ đồng/quý.
+ Chi phí linh kiện: Giá gốc $70$ triệu đồng/chiếc. Nếu sản xuất trên $150$ chiếc thì chi phí linh kiện cho toàn bộ lô hàng giảm xuống còn $60$ triệu đồng/chiếc.
Lợi nhuận sau thuế lớn nhất trong một quý nhà máy có thể đạt được là bao nhiêu triệu đồng? (Biết thuế thu nhập doanh nghiệp là $20\%$ tính trên lợi nhuận dương).

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy $AB=2$. Biết $A{B}^{\prime }\perp B{C}^{\prime }$, thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Một trạm kiểm soát không lưu sử dụng hệ thống ra-đa để theo dõi máy bay trong phạm vi bán kính $500\text{ km}$. Trong hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị: $\text{km}$), ra-đa đặt tại $O(0;0;0)$. Một máy bay đang bay tại vị trí $A(0;0;300)$ và tiếp tục bay theo hướng của vectơ $\vec{u}=(3;4;0)$. Giả sử máy bay bay thẳng và rời khỏi vùng theo dõi, khi đó khoảng cách từ vị trí $A$ đến vị trí cuối cùng của máy bay xuất hiện trên màn hình ra-đa bằng bao nhiêu kilômet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?