Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y-8z-6=0$ có bán kính bằng

Trong không gian $Oxyz$, bề mặt của Trái Đất là mặt cầu có phương trình $x^2+y^2+z^2=1$ (1 đơn vị dài trong không gian $Oxyz$ tương ứng với 6371 km trên thực tế); vị trí $P$ có vĩ độ, kinh độ tương ứng là ${\alpha }^{\circ }\text{N},{\beta }^{\circ }\text{E}$ ($0<\alpha <90,0<\beta <180$) có tọa độ là $P(\cos {\alpha }^{\circ }\cos {\beta }^{\circ };\cos {\alpha }^{\circ }\sin {\beta }^{\circ };\sin {\alpha }^{\circ })$. Ứng dụng Google Maps cho phép xác định khoảng cách giữa hai vị trí trên bề mặt Trái Đất khi biết vĩ độ và kinh độ của chúng. Khoảng cách giữa hai vị trí $P$ và $Q$ trên bề mặt Trái Đất là độ dài cung nhỏ $PQ$ của đường tròn có tâm $O$ và đi qua hai điểm $P,Q$. Tính khoảng cách trên mặt đất giữa hồ Hoàn Kiếm (Hà Nội) ở vị trí $21^{\circ }02^{\prime }\text{N},105^{\circ }51^{\prime }\text{E}$ và đảo Trường Sa ở vị trí $8^{\circ }39^{\prime }\text{N},111^{\circ }56^{\prime }\text{E}$ (đơn vị: km; kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+y^2+(z+1{)}^2=4$. Đường kính của mặt cầu đã cho bằng

Mặt cầu có diện tích bằng $4\pi$ có bán kính bằng

Cho hình cầu $(S)$ tâm $O$, bán kính bằng $2a$. Xét khối nón đỉnh $O$, có đường tròn đáy nằm trên $(S)$ và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng $60^{\circ }$. Thể tích của khối nón đó bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(0;0;2)$ và $B(3;4;1)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu $(S_1):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z+3{)}^2=25$ và mặt cầu $(S_2):x^2+y^2+z^2-2x-2y-14=0$. Gọi $M$, $N$ là hai điểm thuộc $(P)$ sao cho $MN=1$. Giá trị nhỏ nhất $\mathcal{D}=AM+BN$ của bằng

Phương trình mặt cầu có tâm $I(-1;2;-3)$, bán kính $R=3$ là: