Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(0;0;2)$ và $B(3;4;1)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu $(S_1):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z+3{)}^2=25$ và mặt cầu $(S_2):x^2+y^2+z^2-2x-2y-14=0$. Gọi $M$, $N$ là hai điểm thuộc $(P)$ sao cho $MN=1$. Giá trị nhỏ nhất $\mathcal{D}=AM+BN$ của bằng

Phương trình mặt cầu có tâm $I(-1;2;-3)$, bán kính $R=3$ là:

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước (đơn vị trên trục là mét), một trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng $600\text{ m}$ được đặt tại vị trí $I(200;450;60)$. Vào lúc 5 giờ 00 phút sáng, bạn An đi bộ từ vị trí $A(-100;50;0)$ đến vị trí $B(-100;1250;0)$ trên một đường thẳng với vận tốc không đổi trong thời gian 15 phút.

Quả bóng rổ size 7 có đường kính bằng $24,5\text{ cm}$. Tính diện tích bề mặt quả bóng rổ đó (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, mặt cầu tâm $I(1;2;3)$, bán kính $3$ có phương trình là

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+z^2=\frac{5}{6}$, mặt phẳng $(P):x+y+z-1=0$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}$. Điểm $M$ thay đổi trên đường tròn giao tuyến của $(P)$ và $(S)$. Giá trị lớn nhất của $d(M,\Delta )$ là

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-y+2z-1=0$, các điểm $A(0;1;1)$, $B(1;0;0)$ ($A$ và $B$ nằm trên mặt phẳng $(P)$) và mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z-2{)}^2=4$. $CD$ là một đường kính thay đổi của $(S)$ sao cho $CD\parallel (P)$ và bốn điểm $A,B,C,D$ tạo thành một tứ diện. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện đó bằng