Cho hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có hai điểm cực trị $x=0$, $x=2$ và đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị $a{\int }_{-1}^0(f(x)+2)(x^2-2x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b(a<b)$ được tính theo công thức nào sau đây?

Biết rằng ${\int }_0^{2}f(x)dx=\frac{1}{2}$, tính $I={\int }_0^2(2f(x)+1)dx$.

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật $OABC$ có đỉnh $A(a;0)$, $C(0;2)$ ($O$ là gốc tọa độ). Biết rằng đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x}$ chia hình chữ nhật đã cho thành hai phần có diện tích bằng nhau. Hỏi $a$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Cho $f(x)$ là một nguyên hàm của $g(x)$ trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2}$, ${\int }_0^{\pi /2}xg(x)dx=\frac{1}{2}$ và ${\int }_0^{\pi /2}f(x)dx=a+b\pi$, trong đó $a,b$ là các số hữu tỉ. Tính $P=a+4b$.

Nếu ${\int }_{-3}^{5}f(x)\mathrm{d}x=5$ và ${\int }_{-3}^{5}g(x)\mathrm{d}x=-3$ thì ${\int }_{-3}^5[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x$ bằng

Nếu ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=2$ thì ${\int }_1^2[1-2f(x)]\mathrm{d}x$ bằng