Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b(a<b)$ được tính theo công thức nào sau đây?

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật $OABC$ có đỉnh $A(a;0)$, $C(0;2)$ ($O$ là gốc tọa độ). Biết rằng đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x}$ chia hình chữ nhật đã cho thành hai phần có diện tích bằng nhau. Hỏi $a$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Một người có miếng tôn hình tròn có bán kính bằng $5\text{m}$. Người này tính trang trí sơn vẽ trên tấm tôn đó, biết mỗi mét vuông sơn hết $100$ nghìn đồng. Tuy nhiên cần có một khoảng trống để treo tấm tôn nên người này bớt lại một phần tấm tôn nhỏ không trang trí (phần màu trắng như hình vẽ), trong đó $AB=6\text{m}$.

Hỏi khi trang trí xong người này hết bao nhiêu tiền chi phí (làm tròn đến hàng đơn vị nghìn đồng)?

Cho hàm số bậc bốn có ba điểm cực trị dương lần lượt là $x_1,x_2,x_3$ thỏa mãn $x_1+x_2+x_3=3$ và $g(x)$ là parabol đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $f(x)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)-g(x)}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-2,x=0$ bằng

Cho $y=f(x)$ là hàm số đa thức bậc $3$ có đồ thị như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng được tô đậm.

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=e^x-2$, $y=0$, $x=0$, $x=1$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=1$, $f(x)>0$ với $\forall x\ge 0$ và $f(x)-f^{\prime }(x)=e^{-2x}{f}^2(x)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$, $y=0$, $x=0$, $x=1$ gần bằng với số nào sau nhất?