Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=1$, $f(x)>0$ với $\forall x\ge 0$ và $f(x)-f^{\prime }(x)=e^{-2x}{f}^2(x)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$, $y=0$, $x=0$, $x=1$ gần bằng với số nào sau nhất?

Trong một mô hình kinh tế, hàm cung $y=S(x)$ là giá của một sản phẩm khi nhà sản xuất sẵn sàng bán ra $x$ sản phẩm, hàm cầu $y=D(x)$ là giá của một sản phẩm khi người tiêu dùng có nhu cầu mua $x$ sản phẩm. Điểm cắt nhau $(x_0;y_0)$ của đồ thị hàm cầu và hàm cung được gọi là điểm cân bằng thị trường. Các nhà kinh tế gọi *thặng dư tiêu dùng* là diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang $y=y_0$ và trục tung. Tương tự, *thặng dư sản xuất* là diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường ngang $y=y_0$ và trục tung (Hình vẽ).

Xem xét thị trường tấm pin năng lượng mặt trời thế hệ mới được mô hình hóa theo mô hình kinh tế này. Hàm cầu là $p=D(x)=4-0,2x$ (triệu đồng/tấm). Hàm cung là $p=S(x)=0,4+0,1x+\frac{1}{m}{x}^2$ (triệu đồng/tấm). Trong đó $x$ là sản lượng (đơn vị: nghìn sản phẩm), $p$ là giá bán (đơn vị: triệu đồng/sản phẩm) và $m$ là chỉ số hiệu quả công nghệ ($m>0$). Biết rằng tại trạng thái cân bằng thị trường, thặng dư sản xuất đạt được là $4,2$ tỷ đồng. Tại thời điểm này, thặng dư tiêu dùng là bao nhiêu tỷ đồng?

Biết đồ thị hàm số y = x3 + bx 2 + cx + d có đúng hai điểm chung A, B với trục hoành, đồng thời hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 + bx 2 + cx + d và trục hoành có diện tích bằng 3 . Tính độ dài đoạn AB.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;1]$ và $f(x)\le 0,\forall x\in [0;1]$. Hình thang cong được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=1$ có diện tích $S$. Khẳng định nào sai?

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới, với $f(1)=0$; $f^{\prime \prime }\left(\frac{2}{3}\right)=0$ và $f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{20}{27}$. Biết hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại hai điểm $x_1,x_2$ thỏa mãn $3x_2-6x_1=3\sqrt{7}-2$. Gọi $S_1$ và $S_2$ là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên dưới. Tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$, $y=0$, $x=-1$ và $x=5$ (hình minh họa). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Một công ty thiết kế một bảng quảng cáo có dạng hình chữ nhật $ABCD$ có kích thước $AB=10\text{ m}$, $AD=6\text{ m}$. Nội dung quảng cáo được mô tả trong phần tô đậm với hai đường cong trong hình là một phần của đồ thị hàm số $(C)$ có dạng $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ (hình minh họa). Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $(C)$ bằng $3\text{ m}$. Đồ thị hàm số $(C)$ cắt cạnh $AB$ tại điểm $E$ thỏa mãn $\frac{AE}{AB}=\frac{2}{5}$. Diện tích phần nội dung quảng cáo là bao nhiêu mét vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)