Có bao nhiêu bộ số $(x;y)$ trong đó $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $y\in \mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện $\ln (2+3x+4y)=7x+4y-2023$?

Điều kiện: $t=2+3x+4y>0$. Phương trình đã cho tương đương với:
$\ln (2+3x+4y)-(2+3x+4y)=4x-2025\iff \ln t-t=4x-2025$.
Xét hàm số $f(t)=\ln t-t$ trên $(0;+\infty )$, ta có $f^{\prime }(t)=\frac{1}{t}-1=0\iff t=1$.
Bảng biến thiên của $f(t)$:

Từ bảng biến thiên suy ra $4x-2025\le -1\iff x\le 506$. Vì $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ nên $1\le x\le 506$.
- Với $x=506$, ta có $f(t)=-1\iff t=1$, suy ra có $1$ giá trị $y$ nên có $1$ bộ số $(x;y)$.
- Với mỗi $x\in \{1;2;\dots ;505\}$, ta có $4x-2025<-1$ nên phương trình $f(t)=4x-2025$ có $2$ nghiệm $t>0$ phân biệt, suy ra có $2$ giá trị $y$, tức là có $2\cdot 505=1010$ bộ số $(x;y)$.
Vậy có tất cả $1011$ bộ số $(x;y)$. Chọn B.