Phương trình $1-\cos 2x=0$ có tập nghiệm là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime }(x)=x^2(x+1{)}^2(2x-1)$. Số điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(1;2;-3)$ và có một vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;3)$ là

Đường cong trong hình sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

Tập nghiệm của phương trình ${\log }_2(x^2-x+2)=1$ là

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{b}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{c}$. Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $B{C}^{\prime }$. Phân tích vectơ $\overrightarrow{AI}$ qua ba vectơ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^3-3x+5$ trên đoạn $[2;4]$ là

Trong một gian triển lãm nghệ thuật, người ta thiết kế một không gian hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có kích thước $AD=20\text{ m}$, $AB=10\text{ m}$, $A{A}^{\prime }=5\text{ m}$ và được gắn vào hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho gốc tọa độ $O$ trùng với điểm $A$, tia $Ox$ chứa điểm $D$, tia $Oy$ chứa điểm $B$, tia $Oz$ chứa điểm $A^{\prime }$ như hình vẽ. Đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét.

Người ta căng hai sợi dây cáp phát sáng vào hai đường chéo của hình hộp là $A^{\prime }C$ và $B{D}^{\prime }$. Giá sợi dây cáp là $100$ nghìn đồng/mét.

Một lon sữa cho trẻ em được lấy ra khỏi tủ lạnh và đặt trên bàn để rã đông. Nhiệt độ của lon sữa tại thời điểm lấy ra khỏi tủ lạnh là $-4^{\circ }\text{C}$ và sau $t$ giờ, tốc độ tăng nhiệt độ của lon sữa được cho bởi công thức: $T^{\prime }(t)=7{\text{e}}^{-0,35t}$ (${}^{\circ }\text{C}$/giờ) cho đến khi lon sữa đạt nhiệt độ môi trường là $10^{\circ }\text{C}$.

Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$.

Lớp 12B11 có $40$ học sinh. Thời gian tự học tại nhà hàng ngày của các học sinh trong lớp được thống kê trong bảng sau:

$<table><tbody><tr><td>\text{Nhoˊm (giờ)}</td><td>[1;2)</td><td>[2;3)</td><td>[3;4)</td><td>[4;5)</td><td>[5;6]</td></tr><tr><td>\text{Soˆˊ học sinh}</td><td>4</td><td>6</td><td>12</td><td>10</td><td>8</td></tr></tbody></table>$

Cho hàm số $f(x)=(2\tan x-\cot x{)}^2$, $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ sao cho $F\left(\frac{\pi }{4}\right)=3-\frac{9\pi }{4}$. Khi đó $F(x)=a\tan x+b\cot x+cx$ ($a,b,c$ là các hằng số). Tính $a\cdot b\cdot c$.

Anh Nam làm việc tại một giàn khoan cách bờ biển $10\text{ km}$. Chị Mai, bạn thân của anh Nam, làm việc tại một cơ quan trên bờ biển cách nơi làm việc của anh Nam $6\text{ km}$ theo phương ngang. Thứ Bảy tuần sau anh Nam được nghỉ phép nên hai người dự định gặp nhau tại một địa điểm $P$ trên bờ biển. Biết rằng anh Nam sẽ di chuyển vào bờ biển bằng thuyền với vận tốc $15\text{ km/h}$, chị Mai đi bộ với vận tốc $5\text{ km/h}$ và hai người dự định cùng xuất phát rồi đến nơi cùng lúc. Giả thiết đường bờ biển là đường thẳng và thuyền chở anh Nam cũng di chuyển theo đường thẳng. Hỏi địa điểm họ dự định gặp nhau cách cơ quan của chị Mai bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cho hàm số $y=\frac{x^2-4x+5}{x-2}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $A$ là điểm cực trị có tung độ âm của đồ thị $(C)$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $(C)$ bằng $\frac{\sqrt{a}}{b}$ với $a,b\in {\mathbb{Z}}^{+}$ và $a$ là số nguyên tố. Tính $2026a+b$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $1$, góc $\widehat{BAD}=60^{\circ }$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với điểm $O$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $60^{\circ }$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng $\frac{a\sqrt{13}}{b}$ với $a,b$ là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a+b$.

Cho tập $X=\{1,2,3,\dots ,12\}$. Chọn ngẫu nhiên $4$ số phân biệt từ tập $X$ rồi đặt $1$ số vào vòng tròn lớn ở chính giữa, đặt $3$ số còn lại vào ba vòng tròn nhỏ xung quanh (ba vòng tròn nhỏ không phân biệt vị trí). Gọi $P$ là xác suất để tổng các số tự nhiên trên hai vòng tròn nhỏ bất kì luôn nhỏ hơn số ở vòng tròn lớn chính giữa đồng thời tổng cả ba số trên ba vòng tròn nhỏ luôn lớn hơn số ở vòng tròn lớn. Tính giá trị của $1980P$.

Trong không gian $Oxyz$, mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$, có hai trạm phát sóng trên không: trạm $A$ đặt trên không tại vị trí $A(1;1;3)$, trạm $B$ đặt trên không tại vị trí $B(10;13;6)$. Trên mặt đất người ta cần đặt hai trạm thu tín hiệu $M$ và $N$ sao cho khoảng cách giữa hai trạm thu là cố định: $MN=5$ và tổng chiều dài dây nối từ trạm $A$ đến $M$ và từ trạm $B$ đến $N$ là ngắn nhất. Khi đó, tổng hoành độ hai điểm $M$ và $N$ bằng