Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$.

**a) Sai.** Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, $y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, không đồng biến trên toàn tập xác định.

**b) Đúng.** Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận ngang $y=2$ và đường tiệm cận đứng $x=-1$, nên tâm đối xứng là điểm $I(-1;2)$.

**c) Đúng.** Giao điểm của $(C)$ với trục $Oy$ là $A(0;-1)$. Hệ số góc tiếp tuyến tại $A$ là $k=y^{\prime }(0)=3$. Phương trình tiếp tuyến là $y=3(x-0)-1=3x-1$.

**d) Sai.** Điểm $M\left(x_0;2-\frac{3}{x_0+1}\right)\in (C)$ có tọa độ nguyên khi $x_0+1\in \{1;-1;3;-3\}$, suy ra có $4$ điểm có tọa độ nguyên.