Anh Nam làm việc tại một giàn khoan cách bờ biển $10\text{ km}$. Chị Mai, bạn thân của anh Nam, làm việc tại một cơ quan trên bờ biển cách nơi làm việc của anh Nam $6\text{ km}$ theo phương ngang. Thứ Bảy tuần sau anh Nam được nghỉ phép nên hai người dự định gặp nhau tại một địa điểm $P$ trên bờ biển. Biết rằng anh Nam sẽ di chuyển vào bờ biển bằng thuyền với vận tốc $15\text{ km/h}$, chị Mai đi bộ với vận tốc $5\text{ km/h}$ và hai người dự định cùng xuất phát rồi đến nơi cùng lúc. Giả thiết đường bờ biển là đường thẳng và thuyền chở anh Nam cũng di chuyển theo đường thẳng. Hỏi địa điểm họ dự định gặp nhau cách cơ quan của chị Mai bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một mô hình trang trí có dạng là hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cạnh bằng $10$ dm (như hình vẽ). Người ta cần nối một đường dây điện đi từ điểm $E$ (là trung điểm của $CD$) đi qua điểm $M$ thuộc cạnh $AD$, điểm $N$ thuộc cạnh $A{A}^{\prime }$ tới $B^{\prime }$. Độ dài đoạn dây điện ngắn nhất bằng bao nhiêu dm?

Câu 2. Cho hai vị trí $A,B$ cách nhau $615\text{ m}$ và cùng nằm về một phía bờ sông, giả sử bờ sông có dạng thẳng; khoảng cách từ $A$ và từ $B$ đến bờ sông lần lượt là $118\text{ m}$ và $487\text{ m}$ như hình vẽ sau:



Một người đi từ $A$ đến bờ sông để lấy nước mang về $B$. Tìm quãng đường ngắn nhất (tính theo đơn vị mét) mà người đó có thể đi *(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)*?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(Oxy)$ được xem là mặt phẳng mặt đất. Một tấm liếp tre phơi bánh tráng được mô phỏng bởi đoạn thẳng $AB$ có chiều dài $3$. Đặt đầu $B$ chạm đất tại gốc tọa độ $O(0;0;0)$. Bóng của tấm liếp trên mặt đất là đoạn $BC$, với điểm $C$ nằm trên phần dương của trục $Ox$ và có tọa độ $C(3,6;0;0)$. Biết điểm $A$ nằm trong mặt phẳng $(Oxz)$ và có cao độ dương. Góc giữa tấm liếp $AB$ và mặt đất bằng $60^{\circ }$, đồng thời $\widehat{ABC}=120^{\circ }$. Giả sử tia sáng mặt trời chiếu dọc theo đường thẳng $AC$, hãy tính góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất tại thời điểm đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một chiếc thang có dạng hình thang cân có chiều dài thanh bên $6$m. Khoảng cách hai chân thang là $80$cm và hai ngọn thang là $60$cm. Thang được dựa vào bờ tường như hình bên. Tính góc giữa đường thẳng chân tường và thanh bên của hình thang (Đơn vị độ, làm tròn đến hàng đơn vị).

Một con nhện đang treo mình dưới một sợi tơ theo phương thẳng đứng thì bị một cơn gió thổi theo phương ngang làm dây treo lệch đi so với phương thẳng đứng một góc $60^{\circ }$. Biết trọng lượng của con nhện là $P=0,1\text{ N}$. Độ lớn của lực mà gió tác dụng lên con nhện ở vị trí như hình vẽ là $\frac{\sqrt{a}}{b}$ với $a$ là số nguyên tố, $b$ là số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức $T=a+b$.

Dòng Hương hiền hòa trong xanh, lững lờ trôi giữa lòng thành phố Huế cổ kính và mộng mơ. Nhìn từ trên cao, hai bờ sông trải dài như hai đường thẳng song song. Cột cờ Phu Văn Lâu sừng sững cao $54,5\text{ m}$ như là một chứng tích hào hùng của lịch sử. Biết rằng hai bờ sông cách nhau $400\text{ m}$ và chân cột cờ (hình chiếu vuông góc của đỉnh cột cờ xuống mặt đất) nằm cách mép sông gần nhất một khoảng $200\text{ m}$. Có hai bạn học sinh đứng ở hai bờ sông, bạn học sinh $A$ ở cùng bờ với cột cờ nhìn đỉnh cột cờ so với mặt đất một góc $\alpha$ với $\tan \alpha =0,1$ và bạn học sinh $B$ đứng ở bờ bên kia nhìn đỉnh cột cờ so với mặt đất một góc $\beta$ với $\tan \beta =0,07$. Hỏi hai bạn học sinh cách nhau xa nhất là bao nhiêu mét? (Giả sử rằng mặt đất là bằng phẳng và tầm mắt hai bạn học sinh ngang với mặt đất, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).