Một lon sữa cho trẻ em được lấy ra khỏi tủ lạnh và đặt trên bàn để rã đông. Nhiệt độ của lon sữa tại thời điểm lấy ra khỏi tủ lạnh là $-4^{\circ }\text{C}$ và sau $t$ giờ, tốc độ tăng nhiệt độ của lon sữa được cho bởi công thức: $T^{\prime }(t)=7{\text{e}}^{-0,35t}$ (${}^{\circ }\text{C}$/giờ) cho đến khi lon sữa đạt nhiệt độ môi trường là $10^{\circ }\text{C}$.

Trong một cơ sở chế biến nông sản, tốc độ rút nước của một hệ thống sấy lạnh sau khi khởi động có xu hướng giảm dần theo thời gian và tiến về mức ổn định. Giả sử sau khi bắt đầu vận hành được $t$ giờ, tốc độ rút nước của hệ thống này được mô hình bởi hàm số $W^{\prime }(t)=A+3e^{-0,2t}$ (đơn vị: kg/giờ) với $0\le t\le 10$, trong đó $W(t)$ (kg) là lượng nước tổng cộng được rút ra tính từ lúc bắt đầu vận hành. Biết rằng trong $10$ giờ đầu tiên, hệ thống đã rút được tổng cộng $65$ kg nước.

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $(0;+\infty )$ và thỏa mãn $x{f}^{\prime }(x)=-[f(x){]}^2\cdot \ln x$; $f(1)=1$. Giá trị $f(e)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f^{\prime \prime }(x)\cdot f^2(x)+2[f^{\prime }(x){]}^2\cdot f(x)=2x-3,\forall x\in \mathbb{R}$; $f(0)=f^{\prime }(0)=1$. Tính giá trị $P=f^3(2)$.

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin x$ thỏa mãn $F(0)=-\frac{1}{2}$. Tìm $F\left(\frac{\pi }{2}\right)$.

Trong mặt toạ độ $Oxy$, cho các hàm số $F(x)$, $f(x)=4x$ có đồ thị lần lượt là $(C)$ và $(d)$. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và $F(0)=0$. Khi đó:

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=2x-\cos 2x$, biết $F(0)=1$.