Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin x$ thỏa mãn $F(0)=-\frac{1}{2}$. Tìm $F\left(\frac{\pi }{2}\right)$.

Trong mặt toạ độ $Oxy$, cho các hàm số $F(x)$, $f(x)=4x$ có đồ thị lần lượt là $(C)$ và $(d)$. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và $F(0)=0$. Khi đó:

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=2x-\cos 2x$, biết $F(0)=1$.

Biết rằng $x\sin x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(-x)$ trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $2f^{\prime }(x)\cos x$ thỏa mãn $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{-3\pi }{4}$, giá trị của $F(\pi )$ bằng:

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $2xf(x)+x^2{f}^{\prime }(x)=1,\forall x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ và $f(1)=0$. Giá trị của $f\left(\frac{1}{2}\right)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ thoả mãn $f^{\prime }(x)=-2x+4$ và $f(3)=1$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và thoả mãn $F(2)+4F(1)=0$. Khi đó:

Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm f ( x) = sin 2 x và F   = 1 . Tính F   . 4 6 π  5 π  3 π  π  1