Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $2xf(x)+x^2{f}^{\prime }(x)=1,\forall x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ và $f(1)=0$. Giá trị của $f\left(\frac{1}{2}\right)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ thoả mãn $f^{\prime }(x)=-2x+4$ và $f(3)=1$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và thoả mãn $F(2)+4F(1)=0$. Khi đó:

Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm f ( x) = sin 2 x và F   = 1 . Tính F   . 4 6 π  5 π  3 π  π  1

Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^{3x}+7^x$. Tính $F(1)$ biết $F(0)=\frac{1}{3}+\frac{1}{\ln 7}$:

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(1)=\ln 4$ và $f^{\prime }(x)=\frac{f(x)+x+1}{x+1}$ với mọi $x>0$. Giá trị của $f(3)$ bằng

Cho hàm số $f(x)=x^2+\sin x+1$. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và $F(0)=1$. Tìm $F(x)$.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}$, đồng thời thỏa mãn $f(x)\cdot f^{\prime }(x)-[f(x){]}^2=2e^{6x},\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $f(0)=1$ và $f(1)=a\cdot e^b$ với $a,b\in \mathbb{Z}$. Giá trị $a+b$ bằng