Hình bên dưới là một máy trò chơi được đơn giản hóa. Khi thả một quả bóng từ cửa vào, bóng sẽ đi qua đúng một trong bốn vị trí $A,B,C,D$. Mỗi khi bóng đi qua vị trí nào thì đèn ở vị trí đó sẽ đổi trạng thái: đang tắt thì bật, đang bật thì tắt.

Ví dụ: Nếu ban đầu tất cả đèn đều tắt, thả bóng $2$ lần mà cả $2$ lần đều đi qua $A$ thì đèn ở $A$ sẽ bật rồi lại tắt; còn nếu lần $1$ bóng đi qua $A$ rồi lần $2$ bóng đi qua $B$ thì đèn ở $A$ và $B$ đều bật.
Cứ như vậy, mỗi lần bóng đi qua thì đèn đổi trạng thái. Trò chơi kết thúc khi cả bốn đèn $A,B,C,D$ đều bật.
Gọi xác suất để trò chơi kết thúc đúng ở lần thả bóng thứ $6$ là $\frac{a}{b}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị của $a+b$ là bao nhiêu? (Biết rằng ban đầu tất cả đèn đều tắt, tại mỗi ngã rẽ, bóng đi sang hai hướng với xác suất bằng nhau).