Một đoàn cứu trợ lũ lụt đang ở vị trí $A$ của một tỉnh miền trung muốn đến xã $C$ để tiếp tế lương thực và thuốc men. Để đi đến $C$, đoàn cứu trợ phải chèo thuyền từ $A$ đến vị trí $D$ với vận tốc $4\text{ km/h}$, rồi đi bộ đến $C$ với vận tốc $6\text{ km/h}$. Biết $A$ cách $B$ một khoảng $5\text{ km}$, $B$ cách $C$ một khoảng $7\text{ km}$ (hình minh họa). Hỏi vị trí $D$ cách $A$ bao nhiêu km để đoàn cứu trợ đi đến xã $C$ nhanh nhất? *(Nếu ra số gần đúng thì làm tròn kết quả đến hàng phần chục)*.

Một cái hồ rộng có hình chữ nhật, tại một góc hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí $K$ cách bờ $AB$ là $3\text{ m}$ và cách bờ $AD$ là $9\text{ m}$, rồi dùng một cây sào thẳng $PQ$ ngăn một góc của hồ để nuôi vịt (tam giác $APQ$ như hình vẽ) sao cho cây sào chạm vào hai bờ $AB,AD$ và cây cọc $K$. Tính diện tích của góc hồ nuôi vịt khi chiều dài của cây sào $PQ$ là ngắn nhất. (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của đơn vị ${\text{m}}^2$)

Ở khu du lịch D có một cửa hàng chuyên bán áo lưu niệm. Cửa hàng đã lấy hàng hóa để nhập vào kho với giá 20 nghìn đồng/cái. Cửa hàng bán lại cho khách hàng với giá 39 nghìn đồng/cái. Với giá bán như trên, cửa hàng bán được 120 cái/ngày. Trong một thời gian thực hiện giảm giá bán, cửa hàng nhận thấy rằng nếu giảm 1 nghìn đồng/cái thì trong một ngày, số áo bán được tăng thêm 15 cái. Khi giảm giá ở mức phù hợp, cửa hàng có thể thu được lợi nhuận cao nhất trong một ngày là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, tính theo đơn vị nghìn đồng)

Công ty vận tải biển X cần tính toán tốc độ di chuyển tối ưu cho một tàu hàng chạy trên tuyến đường biển dài $S\text{ (km)}$ để tiết kiệm nhiên liệu nhất. Theo thông số kỹ thuật, tổng lượng nhiên liệu tiêu hao của tàu bao gồm hai phần:
+ Phần tiêu hao cho hệ thống điện và sinh hoạt cố định theo thời gian: Tiêu thụ đều đặn $650$ lít/giờ.
+ Phần tiêu hao cho động cơ đẩy (chi phí vận hành theo quãng đường): Do lực cản của nước, lượng nhiên liệu động cơ tiêu thụ trên mỗi km tỷ lệ thuận với bình phương vận tốc của tàu. Cụ thể, hàm tiêu thụ là $0,05v^2$ lít/km (với $v$ là vận tốc của tàu, tính bằng km/h, $v>0$).
Thuyền trưởng cần điều khiển tàu chạy với vận tốc $v$ bằng bao nhiêu km/h để tổng lượng nhiên liệu tiêu hao trên toàn bộ chuyến đi là thấp nhất? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Một sợi dây kim loại dài $60\text{ dm}$ được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh $a$, đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính $r$. Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số $\frac{a}{r}$ bằng bao nhiêu?

Một xưởng sản xuất cửa nhôm kính uốn vòm gồm phần dưới là hình chữ nhật có chiều rộng $x\text{ (cm)}$, chiều dài $y\text{ (cm)}$, phần vòm là hình bán nguyệt có bán kính $\frac{x}{2}\text{ (cm)}$. Biết chu vi của cửa không đổi là $8\text{ m}$. Biết đơn giá làm cửa tính theo ${\text{m}}^2$ là $\mathrm{1.600.000}\text{ đoˆˋng}$. Khi diện tích của cái cửa lớn nhất thì cái cửa trị giá bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng phần mười)?

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=x$, $AD=1$. Biết rằng góc giữa đường thẳng $A^{\prime }C$ và mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ bằng $30^{\circ }$. Tìm giá trị lớn nhất $V_{\max }$ của thể tích khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.