Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=x$, $AD=1$. Biết rằng góc giữa đường thẳng $A^{\prime }C$ và mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ bằng $30^{\circ }$. Tìm giá trị lớn nhất $V_{\max }$ của thể tích khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Một công ty khai thác tuyến tàu cao tốc chở khách du lịch từ đất liền ra đảo với khoảng cách $60\text{ km}$. Giả sử tàu di chuyển với vận tốc $v$ không đổi trên suốt tuyến đường. Chi phí vận hành cho mỗi giờ hoạt động của tàu bao gồm:
+) Chi phí nhiên liệu: $100v^3$ (đồng), với $v$ (km/h) là vận tốc của tàu ($v>0$).
+) Chi phí cố định (lương thủy thủ đoàn, khấu hao, bến bãi,...): $4000000$ đồng.
Để đảm bảo chất lượng dịch vụ, thời gian di chuyển mỗi chuyến không được vượt quá $1$ giờ $30$ phút. Đồng thời, vì lý do an toàn hàng hải, tàu không được chạy quá $55\text{ km/h}$. Tàu có sức chứa tối đa $150$ hành khách và giả sử rằng số lượng khách trên mỗi chuyến đi luôn đạt mức tối đa. Ban giám đốc thiết lập mục tiêu lợi nhuận thu được từ mỗi chuyến đi bằng $25\%$ tổng chi phí vận hành của chuyến đó. Để đạt được mức lợi nhuận này trong điều kiện tàu được vận hành với tổng chi phí thấp nhất, giá vé mỗi hành khách phải trả là bao nhiêu nghìn đồng?

Anh Công dự định làm một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật không có nắp bằng vật liệu kính. Biết rằng đáy bể có thiết kế chiều dài gấp ba lần chiều rộng. Kinh phí tối đa anh Công có thể chi trả để mua kính làm các mặt bể là $3600000$ đồng và giá kính ghép bể hiện tại là $400000$ đồng/${\text{m}}^2$. Hỏi thể tích nước lớn nhất mà chiếc bể cá có thể chứa được là bao nhiêu mét khối? (Xem độ dày của kính là không đáng kể và không tính phần vật liệu hao hụt khi dán keo).

Cho một tấm tôn hình một ngũ giác đều có cạnh bằng $6\text{dm}$. Người ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Cắt ở mỗi đỉnh của ngũ giác đều đó hai tam giác vuông bằng nhau.
Bước 2: Cắt theo nét đứt đoạn để thu được hình hợp bởi một ngũ giác đều và năm hình chữ nhật.
Bước 3: Gấp các hình chữ nhật để tạo thành khối lăng trụ ngũ giác đều (tham khảo hình vẽ).

Thể tích của khối lăng trụ lớn nhất bằng bao nhiêu đề-xi-mét khối? (làm tròn kết quả đến hàng chục).

Một hộ sản xuất kinh doanh hạt điều sấy mỗi ngày sản xuất được $x\text{ kg}$ ($5\le x\le 20$). Tổng chi phí sản xuất $x\text{ kg}$ được cho bởi hàm chi phí $C(x)=x^3-3x^2+19x+300$ (đơn vị: nghìn đồng). Giả sử hộ sản xuất này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá $316$ nghìn đồng/kg. Hỏi hộ sản xuất này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu kilôgam hạt điều để thu được lợi nhuận lớn nhất?

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh $1\text{ m}$ như hình vẽ dưới đây. Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $x\text{ (m)}$, sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Giá trị của $x$ để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất là

Nhà thầy Hùng và chợ hải sản cách nhau $1\text{ km}$, khoảng cách từ nhà thầy Hùng đến bờ biển bằng $1\text{ km}$ còn khoảng cách từ chợ hải sản đến bờ biển bằng $400\text{ m}$ (bờ biển xem như $1$ đường thẳng). Mỗi buổi sáng thầy Hùng chạy thể dục từ nhà ra bờ biển, sau đó chạy dọc bờ biển $500\text{ m}$, rồi thầy chạy qua chợ hải sản để lấy thức ăn trong ngày, cuối cùng thầy chạy thẳng về nhà (tham khảo hình vẽ).
[IMAGE_1]
Tổng quãng đường ngắn nhất mà thầy Hùng chạy trong mỗi buổi sáng là bao nhiêu mét (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)?