Trên tập hợp số phức, xét phương trình bậc hai $z^2-2(2m-3)z+m^2=0$ (với $m$ là số thực). Tính tổng tất cả các giá trị của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt $z_1,z_2$ thỏa mãn $2\left(z_1|z_2|+z_2|z_1|\right)=|z_1{z}_2|$.

Gọi $z_1,z_2$ là hai nghiệm của phương trình $z^2-4z+13=0$ và $A,B$ lần lượt là hai điểm biểu diễn hai số phức $z_1,z_2$ trong mặt phẳng $Oxy$. Diện tích của tam giác $OAB$ bằng

Cho số phức $z=x+yi$ $(x;y\in \mathbb{R})$ thỏa mãn điều kiện $z+2\bar{z}=2-4i$. Tính $P=3x+y$.

Trên tập hợp các số phức, cho biết phương trình $z^2-4z+\frac{c}{d}=0$ (với $c\in \mathbb{Z};d\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và phân số $\frac{c}{d}$ tối giản) có hai nghiệm $z_1,z_2$. Gọi $A,B$ lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của $z_1,z_2$ trên mặt phẳng $Oxy$. Biết tam giác $OAB$ đều, giá trị của biểu thức $P=2c-5d$ bằng

Cho số phức $z=x+yi$ (với $x,y\in \mathbb{R}$) thỏa mãn $z-(2+3i)\bar{z}=1-9i$. Tính $xy$.

Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^2-2mz+m^2-2m=0$ ($m$ là tham số thực). Tính tổng tất cả các giá trị của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1+1|+|z_2+1|=4$.

Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^2-2(m+1)z+m^2+4m+3=0$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $z_1,z_2$ thỏa mãn $(z_1-z_2{)}^2+2m=z_1+\overline{z_2}$?