Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^2-2mz+m^2-2m=0$ ($m$ là tham số thực). Tính tổng tất cả các giá trị của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1+1|+|z_2+1|=4$.

Xét phương trình $z^2-2mz+m^2-2m=0$ $(\ast )$ có ${\Delta }^{\prime }=m^2-(m^2-2m)=2m$.

- **Trường hợp 1:** ${\Delta }^{\prime }>0\iff m>0$ $(1)$.
Phương trình $(\ast )$ có hai nghiệm thực phân biệt $z_1=m-\sqrt{2m};z_2=m+\sqrt{2m}$.
Ta có $|z_1+1|+|z_2+1|=4\iff |m-\sqrt{2m}+1|+m+\sqrt{2m}+1=4\iff |m-\sqrt{2m}+1|=3-m-\sqrt{2m}\iff m=1$ (thỏa mãn).

- **Trường hợp 2:** ${\Delta }^{\prime }<0\iff m<0$ $(2)$.
Phương trình $(\ast )$ có hai nghiệm phức phân biệt $z_1=m-i\sqrt{|2m|};z_2=m+i\sqrt{|2m|}$.
Ta có $|z_1+1|+|z_2+1|=4\iff 2\sqrt{(m+1{)}^2+|2m|}=4\iff (m+1{)}^2-2m=4\iff m^2-3=0\iff m=-\sqrt{3}$ (do $m<0$).

Vậy tổng tất cả các giá trị của $m$ là $S=1-\sqrt{3}$.