Cho hình nón $(N_1)$ có đỉnh $S$, chiều cao $h$. Một hình nón $(N_2)$ có đỉnh là tâm của đáy $(N_1)$ và có đáy là một thiết diện song song với đáy của $(N_1)$ như hình vẽ. Khối nón $(N_2)$ có thể tích lớn nhất khi chiều cao $x$ bằng

Xét mặt cắt qua trục hình nón và kí hiệu như hình vẽ. Với $O,I$ lần lượt là tâm đáy của hình nón $(N_1),(N_2)$; $R,r$ lần lượt là các bán kính của hai đường tròn đáy của $(N_1),(N_2)$.

Ta có $\frac{SI}{SO}=\frac{r}{R}\iff \frac{h-x}{h}=\frac{r}{R}\Rightarrow r=\frac{R(h-x)}{h}$.

Thể tích khối nón $(N_2)$ là: $V_{(N_2)}=\frac{1}{3}\pi r^{2}x=\frac{\pi R^2}{3h^2}x(h-x{)}^2$.

Xét hàm $f(x)=x(h-x{)}^2$ với $0<x<h$. Áp dụng BĐT Cauchy cho $3$ số dương, ta có:

$f(x)=\frac{2x(h-x)(h-x)}{2}\le \frac{1}{2}{\left(\frac{2x+h-x+h-x}{3}\right)}^3=\frac{4h^3}{27}$.

Đẳng thức xảy ra khi $2x=h-x\iff x=\frac{h}{3}$.