Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;1)$, $B(3;-1;1)$ và $C(-1;-1;1)$. Gọi $(S_1)$ là mặt cầu có tâm $A$, bán kính bằng 2 ; $(S_2)$ và $(S_3)$ là hai mặt cầu có tâm lần lượt là $B$, $C$ và bán kính đều bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu $(S_1)$, $(S_2)$, $(S_3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ba mặt cầu có tâm $A(1;2;1)$, $B(3;-1;1)$, $C(-1;-1;1)$ với bán kính $r_A=2$, $r_B=r_C=1$. Ba tâm nằm trên mặt phẳng $z=1$; $AB=AC=\sqrt{13}$, $BC=4$, tức $A$ nằm trên trung trực của $BC$.

Một mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với cả ba mặt cầu khi và chỉ khi khoảng cách có dấu từ các tâm đến $(P)$ bằng ${\epsilon }_A{r}_A,{\epsilon }_B{r}_B,{\epsilon }_C{r}_C$ với ${\epsilon }_i\in \{1;-1\}$. Với pháp tuyến đơn vị $\vec{n}=(n_x;n_y;n_z)$, điều kiện là:
$$\vec{n}\cdot \overrightarrow{BC}={\epsilon }_B-{\epsilon }_C,\vec{n}\cdot \overrightarrow{BA}=2{\epsilon }_A-{\epsilon }_B.$$

Trường hợp ${\epsilon }_B={\epsilon }_C$: $4n_x=0\Rightarrow n_x=0$, và $3n_y=2{\epsilon }_A-{\epsilon }_B\in \{\pm 1;\pm 3\}$.
- Với $n_y=\pm 1$: cả hai cho cùng mặt phẳng $y=0$ (khoảng cách từ $A$ bằng $2$, từ $B,C$ bằng $1$): $1$ mặt phẳng.
- Với $n_y=\pm \frac{1}{3}$: $n_z=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$, hai pháp tuyến đối nhau cho $2$ mặt phẳng phân biệt.
Tổng: $3$ mặt phẳng.

Trường hợp ${\epsilon }_B=1,{\epsilon }_C=-1$: $n_x=\frac{1}{2}$, khi đó $3n_y=2{\epsilon }_A\Rightarrow n_y=\pm \frac{2}{3}$, $n_z=\pm \frac{\sqrt{11}}{6}$. Bốn pháp tuyến tạo thành $2$ mặt phẳng phân biệt (kiểm tra ví dụ $\vec{n}=\left(\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{\sqrt{11}}{6}\right)$, $d=\frac{1}{6}$: khoảng cách có dấu đến $A,B,C$ lần lượt là $2,1,-1$).

Trường hợp ${\epsilon }_B=-1,{\epsilon }_C=1$: $n_x=-\frac{1}{2}$, tương tự cho $2$ mặt phẳng khác (do $n_x$ đổi dấu nên không trùng với trường hợp trên).

Vậy tổng số mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu là $3+2+2=7$.