Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AC=\sqrt{6}a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $BD$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SD=\frac{a\sqrt{17}}{2}$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của đoạn thẳng $AB$. Gọi $E$ là trung điểm của $AD$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $HE$ và $SB$.

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $60^{\circ }$. Gọi $O$ là giao của $AC$ và $BD$. Tính khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(SAB)$.

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=1\text{cm}$, $BC=\sqrt{3}\text{ cm}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ bằng bao nhiêu xen-ti-mét (cm) ? (làm tròn đến hai chữ số thập phân).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$. Biết $AD=2a$, $AB=BC=SA=a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy, gọi $M$ là trung điểm của $AD$. Tính khoảng cách $h$ từ $M$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ bằng

Một mô hình trang trí có dạng là hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cạnh bằng $10\text{ m}$ (như hình vẽ). Người ta cần nối một đường dây điện đi từ điểm $E$ (là trung điểm của $CD$) đi qua điểm $M$ thuộc cạnh $AD$, đi tiếp qua điểm $N$ thuộc cạnh $A{A}^{\prime }$ rồi tới điểm $B^{\prime }$. Biết độ dài đoạn dây điện bằng $25\text{ m}$. Tính độ dài đoạn $MN$ (làm tròn đến hàng phần trăm).