Câu 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=4x-x^2$ và $y=2x$ bằng

Câu 2. Cho parabol $(P):f(x)=x^2-2x+1$, đường thẳng $(d):g(x)=x+1$.

Để chuẩn bị cho lễ kỷ niệm $20$ năm ngày ra trường, ban tổ chức quyết định đặt hàng một đơn vị thủ công mỹ nghệ để chế tác các huy hiệu cài áo đặc biệt. Huy hiệu được thiết kế trên một phôi bạc hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $20\text{ mm}$. Theo bản vẽ kỹ thuật từ các nghệ nhân, cấu trúc của huy hiệu được phân chia như sau: lấy một điểm $M$ được xác định bên trong phôi bạc sao cho khoảng cách từ $M$ đến cạnh dưới $OA$ là $4\text{ mm}$ và cách cạnh bên trái $OC$ là $8\text{ mm}$, cạnh vòm là một cung tròn đi qua ba điểm $O,M,C$; đường lượn là một phần của đường Parabol đi qua ba điểm $O,M,A$. Phần tô đậm trong bản vẽ sẽ được phủ men sứ màu xanh lam. Các phần còn lại sẽ được giữ nguyên màu bạc để khắc tên trường và niên khóa. Hãy tính diện tích phần cần phủ men sứ màu xanh để đơn vị sản xuất báo giá chính xác chi phí vật liệu. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị ${\text{mm}}^2$).
[IMAGE:img_q21_badge]

Cho hàm số $f(x)=a{x}^4+b{x}^2+1$ ($a\ne 0;a,b\in \mathbb{R}$) mà đồ thị hàm số $f^{\prime \prime }(x)$ và đồ thị hàm số $f(x)$ có một điểm chung duy nhất và nằm trên trục $Oy$ (hình vẽ), trong đó $\pm x_1$ là nghiệm của $f(x)$ và $\pm x_2$ là nghiệm của $f^{\prime \prime }(x)$, ($x_1,x_2>0$). Biết $x_1=3x_2$, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị $f(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$ và trục $Ox$.

Cho hàm số $y=e^x$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $(d)$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_1,x_2$ sao cho $x_1+x_2=0$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, trục hoành, và các đường thẳng $x=x_1,x=x_2$; $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(d)$, trục hoành, và các đường thẳng $x=x_1,x=x_2$. Biết $\frac{x_2{S}_1}{S_2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Hỏi diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C)$ và $(d)$ thuộc khoảng nào sau đây?

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=-x^2+2x$, $y=-3$, $x=1$, $x=2$ được tính bởi công thức nào dưới đây?

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2x^2$ và đường thẳng $y=mx$ với $m\ne 0$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để diện tích hình phẳng $(H)$ nhỏ hơn $10$?