Câu 26: Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao $18m$, chiều rộng chân đế $12m$. Người ta căng hai sợi dây trang trí $AB$, $CD$ theo phương nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ dưới đây).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục gốc tại đỉnh, parabol $y=-k{x}^2$. Tại chân đế $y=-18,x=\pm 6$ nên $18=36k\Rightarrow k=\frac{1}{2}$, tức $y=-\frac{x^2}{2}$ (không phải $-\frac{1}{3}{x}^2$). Diện tích từ đỉnh xuống độ sâu $d$: $S(d)={\int }_0^{d}2\sqrt{2t}dt=\frac{4\sqrt{2}}{3}{d}^{3/2}$. Tổng diện tích $=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot 18^{3/2}=144$, mỗi phần $48$. Phần trên cùng: $\frac{4\sqrt{2}}{3}{d}_1^{3/2}=48\Rightarrow d_1^{3/2}=18\sqrt{2}$; hai phần trên: $d_2^{3/2}=36\sqrt{2}=2\cdot 18\sqrt{2}\Rightarrow d_2=2^{2/3}{d}_1$. Vì $A{B}^2=8d_1,C{D}^2=8d_2$ nên $\frac{AB}{CD}=\sqrt{d_1/d_2}=2^{-1/3}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ (đúng). Diện tích miền tô đậm $ABDC$ là một trong ba phần bằng nhau nên bằng $48m^2$, không phải $24m^2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Parabol có thể mở lên hoặc mở xuống, nên $a$ chỉ cần $a\ne 0$, không bắt buộc $a>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với đỉnh tại gốc, $y=-k{x}^2$; tại $x=6,y=-18$ suy ra $k=1/2$, phương trình là $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ chứ không phải $y=-\frac{1}{3}{x}^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S(d)=\frac{4\sqrt{2}}{3}{d}^{3/2}$; $d_2^{3/2}=2d_1^{3/2}\Rightarrow d_2=2^{2/3}{d}_1$, mà $AB=2\sqrt{2d_1},CD=2\sqrt{2d_2}$ nên $\frac{AB}{CD}=\sqrt{\frac{d_1}{d_2}}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng diện tích hình phẳng là $144m^2$, chia ba phần bằng nhau nên $S_{ABDC}=48m^2\ne 24m^2$.