Họa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệp kinh doanh hải sản. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong hình sau (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là cm).



Diện tích logo bằng bao nhiêu cm² (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng)?

Đáp án: 65,4.

Đặt parabol phía trên là $(P_1)$: $y=a_1{x}^2+b_{1}x+c_1$ $(a_1\ne 0)$.

Ta thấy $(P_1)$ có đỉnh $(0;3)$ và đi qua điểm $(6;0)$. Ta có hệ phương trình:

$$\{<table><tbody><tr><td>-\frac{b_1}{2a_1}=0</td></tr><tr><td>a_1.0^2+b_1.0+c_1=3</td></tr><tr><td>a_1.6^2+b_1.6+c_1=0</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>b_1=0</td></tr><tr><td>c_1=3</td></tr><tr><td>a_1=-\frac{1}{12}</td></tr></tbody></table>\Rightarrow (P_1):y=-\frac{1}{12}{x}^2+3.$$

Đặt parabol phía dưới là $(P_2)$: $y=a_2{x}^2+b_{2}x+c_2$ $(a_2\ne 0)$.

Ta thấy $(P_2)$ có đỉnh $(0;-5)$ và đi qua điểm $(6;0)$. Ta có hệ phương trình:
$$\{\begin{array}{l}-\frac{b_2}{2a_2}=0\\ a_2.0^2+b_2.0+c_2=-5\\ a_2.6^2+b_2.6+c_2=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{b}_2=0\\ c_2=-5\\ a_1=\frac{5}{36}\end{array}\Rightarrow (P_2):y=\frac{5}{36}{x}^2-5.$$ (Lưu ý: trong ảnh, dòng cuối hệ thứ hai ghi $a_1=\frac{5}{36}$, có thể là lỗi in của đề gốc, giữ nguyên.)

Diện tích logo là:
$$S=\underset{-7}{\overset{6}{\int }}\left|\left(-\frac{1}{12}{x}^2+3\right)-\left(\frac{5}{36}{x}^2-5\right)\right|\mathrm{d}x$$
$$=\underset{-7}{\overset{-6}{\int }}\left[\left(\frac{5}{36}{x}^2-5\right)-\left(-\frac{1}{12}{x}^2+3\right)\right]\mathrm{d}x+\underset{-7}{\overset{6}{\int }}\left[\left(-\frac{1}{12}{x}^2+3\right)-\left(\frac{5}{36}{x}^2-5\right)\right]\mathrm{d}x$$
$$=\underset{-7}{\overset{-6}{\int }}\left(\frac{2}{9}{x}^2-8\right)\mathrm{d}x+\underset{-7}{\overset{6}{\int }}\left(-\frac{2}{9}{x}^2+8\right)\mathrm{d}x$$
$$=\frac{38}{27}+64=\frac{1766}{27}\approx 65,4\left({\mathrm{cm}}^2\right)$$

(Lưu ý: trong lời giải gốc trang 16, tích phân thứ hai được in với cận trên là $-7$ đến $6$, trong khi giá trị $64$ tương ứng với cận $-6$ đến $6$ (hai parabol cắt nhau tại $x=\pm 6$); đây có thể là lỗi in của tài liệu gốc, giữ nguyên và kết quả cuối $\frac{1766}{27}\approx 65,4$ vẫn đúng.)