Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2-2x+5}{x-1}$ có đồ thị là $(C)$.

Ta có $y=f(x)=\frac{x^2-2x+5}{x-1}=x-1+\frac{4}{x-1}$.

Hàm số xác định khi $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, nên tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

$f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}$.

$f^{\prime }(x)=0\iff \{\begin{array}{l}{x}_1=3\\ x_2=-1\end{array}$

Bảng biến thiên



Từ bảng biến thiên suy ra:
a) SAI,
b) ĐÚNG,
c) ĐÚNG,
d) ĐÚNG.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M(2;5)$ có pt là $y=f^{\prime }(2)(x-2)+5=-3x+11$.

Đường tiệm cận đứng $x=1$ cắt tiếp tuyến tại $A(1;8)$.

Đường tiệm cận xiên $y=x-1$ cắt tiếp tuyến tại $B(3;2)$.

Giao của hai đường tiệm cận $I(1;0)$.

$\overrightarrow{IA}=(0;8);\overrightarrow{IB}=(2;2)$.

Diện tích tam giác $IAB$ là $S_{IAB}=\frac{1}{2}\left|0.2-2.8\right|=8$.
a) Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $(2;3)$, nên khẳng định a) SAI.
b) $f^{\prime }(x)=0\iff x_1=3,x_2=-1$. Khi đó $x_1^2+x_2^2=9+1=10$. Khẳng định b) ĐÚNG.
c) Hàm số xác định khi $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, nên tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Khẳng định c) ĐÚNG.
d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M(2;5)$ có pt là $y=f^{\prime }(2)(x-2)+5=-3x+11$. Đường tiệm cận đứng $x=1$ cắt tiếp tuyến tại $A(1;8)$. Đường tiệm cận xiên $y=x-1$ cắt tiếp tuyến tại $B(3;2)$. Giao của hai đường tiệm cận $I(1;0)$. $\overrightarrow{IA}=(0;8);\overrightarrow{IB}=(2;2)$. Diện tích tam giác $IAB$ là $S_{IAB}=\frac{1}{2}\left|0.2-2.8\right|=8$. Khẳng định d) ĐÚNG.