Cho hàm số $f(x)=\sin 2x-2x$.

a) SAI. Đạo hàm của $f(x)=\sin 2x-2x$ là $f^{\prime }(x)=2\cos 2x-2$.

b) ĐÚNG. $f^{\prime }(x)=2\cos 2x-2\le 0\forall x\in \mathbb{R}$ và $f^{\prime }(x)=0\iff \cos 2x-1=0\iff x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$ do $\cos 2x\le 1\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số nghịch biến trên tập xác định.

c) ĐÚNG. $f^{\prime }(x)+1=2\cos 2x-1=0\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$ suy ra $x=\frac{5\pi }{6}$ là nghiệm dương lớn nhất của phương trình $f^{\prime }(x)+1=0$ trên khoảng $(-\pi ;\pi )$.

d) SAI. $f^{\prime }(x)+1=2\cos 2x-1$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{6}\in \left[0;\frac{\pi }{6}\right]$, $f(0)=0;f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{3}$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{6}\right]$ là $-\frac{\pi }{2}+\sqrt{3}$.
a) Đạo hàm của $f(x)=\sin 2x-2x$ là $f^{\prime }(x)=2\cos 2x-2$. Khẳng định a) SAI.
b) $f^{\prime }(x)=2\cos 2x-2\le 0\forall x\in \mathbb{R}$ và $f^{\prime }(x)=0\iff \cos 2x-1=0\iff x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$ do $\cos 2x\le 1\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số nghịch biến trên tập xác định. Khẳng định b) ĐÚNG.
c) $f^{\prime }(x)+1=2\cos 2x-1=0\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$ suy ra $x=\frac{5\pi }{6}$ là nghiệm dương lớn nhất của phương trình $f^{\prime }(x)+1=0$ trên khoảng $(-\pi ;\pi )$. Khẳng định c) ĐÚNG.
d) $f^{\prime }(x)+1=2\cos 2x-1$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{6}\in \left[0;\frac{\pi }{6}\right]$, $f(0)=0;f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{3}$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{6}\right]$ là $-\frac{\pi }{2}+\sqrt{3}$. Khẳng định d) SAI.