Biết ${\int }_1^3\frac{x+2}{x}dx=a+b\ln c$, với $a,b,c\in \mathbb{Z},c<9$. Tính tổng $S=a+b+c$.

Nếu $\int f(x)dx=\frac{1}{x}+\ln x+C$ thì $f(x)$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $[a;b]$. Gọi $(D)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b(a<b)$. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $(D)$ quanh trục $Ox$ được tính theo công thức nào sau đây

Nguyên hàm của hàm số $y=\sin x+2\cos x$ là

Cho ${\int }_0^{1}f(x)dx=3$, ${\int }_0^{1}g(x)dx=-2$. Tính giá trị của biểu thức $I={\int }_0^1\left[2f(x)-3g(x)\right]dx$

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x),y=0,x=-1,x=2$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx=5$. Tính $I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left[f(x)+2\sin x\right]dx$?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[a;b]$.

Cho đồ thị hàm số $y=x^3-2x^2-3x+4(C)$ và đường thẳng $d:y=2x-2$. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian $t\text{ (s)}$ là $a(t)=2t-7{\text{ (m/s}}^2\text{)}$. Biết vận tốc đầu bằng $6\text{ (m/s)}$.

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=\sqrt{x}$, trục hoành $Ox$ và hai đường thẳng $x=0,x=4$. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

Khi cắt một vật thể hình chiếc niêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(-2\le x\le 2)$, mặt cắt là tam giác vuông có một góc $45^{\circ }$ và độ dài một cạnh góc vuông là $\sqrt{14-3x^2}$. Tính thể tích vật thể hình chiếc niêm trên.

Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu chuyển động với vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol. Biết rằng sau $5$ phút thì xe đạt đến vận tốc cao nhất $1000\text{ m/phuˊt}$ và bắt đầu giảm tốc, đi được $6$ phút thì xe chuyển động đều (tham khảo hình vẽ). Quãng đường xe đi được sau $10$ phút đầu tiên kể từ khi hết đèn đỏ là bao nhiêu mét?

Cho tích phân ${\int }_1^2\left(\frac{x^2+1}{x}\right)dx=\ln a+\frac{b}{c}$, biết $a,b,c$ là số nguyên. Tính tổng $a+b+c$.

Một hộ gia đình sản xuất cơ khí nhỏ mỗi ngày sản xuất được $x$ sản phẩm $(0\le x\le 20)$. Chi phí biên để sản xuất $x$ sản phẩm, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm số sau $C^{\prime }(x)=3x^2-4x+10$. Biết rằng chi phí cố định ban đầu để sản xuất là $500$ nghìn đồng. Giả sử cơ sở này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá $270$ nghìn đồng/sản phẩm. Tính lợi nhuận tối đa mà gia đình đó thu được khi sản xuất và bán sản phẩm?

Một viên đạn được bắn lên trời với vận tốc là $72\text{ (m/s)}$ bắt đầu từ độ cao $2\text{ m}$. Hãy xác định chiều cao của viên đạn sau thời gian $5\text{ s}$ kể từ lúc bắn biết gia tốc trọng trường là $9,8{\text{ (m/s}}^2\text{)}$ (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Biết $F(x)$ và $G(x)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn ${\int }_0^{4}f(x)dx=F(4)-G(0)+2m$, với $m>0$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=F(x)$, $y=G(x)$; $x=0$ và $x=4$. Khi $S=8$ thì $m$ bằng?