Biết ${\int }_1^3\frac{x+2}{x}dx=a+b\ln c$, với $a,b,c\in \mathbb{Z},c<9$. Tính tổng $S=a+b+c$.

Cho $I={\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{2x+m}}$, $m$ là số thực dương. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $I\ge 1$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên đoạn $[0;5]$ thỏa mãn ${\int }_0^{5}x{f}^{\prime }(x)e^{f(x)}dx=8$; $f(5)=\ln 5$. Tính $I={\int }_0^5{e}^{f(x)}dx$.

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-3$, $x=2$, như hình vẽ bên dưới. Đặt $a={\int }_{-3}^{1}f(x)dx$, $b={\int }_1^{2}f(x)dx$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho:
- Đồ thị $(C)$ của hàm số $y=\frac{3}{4}|x|$.
- Đường tròn $(C_1)$ có tâm $I_1$, bán kính $1$ tiếp xúc với $(C)$ tại $A$ và tiếp xúc với tia $Ox$.
- Đường tròn $(C_2)$ có tâm $I_2$, bán kính $1$ tiếp xúc với $(C)$ tại $B$ và tiếp xúc với tia $O{x}^{\prime }$.
- Parabol $(P)$ có đỉnh là $O$, qua $I_1$ và $I_2$.
(tham khảo hình vẽ dưới đây)

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi $(C),(P)$ và các đường thẳng $I_{1}A,I_{2}B$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y=\sin x$, $y=\cos x$ và các đường thẳng $x=0$, $x=\pi$ được tính bằng công thức:

Diện tích phần gạch chéo trong hình bên bằng