Diện tích phần gạch chéo trong hình bên bằng

Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $f(x)=x^2-2x$ và $f(x)=x^3-2x^2$.

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Mỗi viên gạch trắng hình vuông cạnh $4\text{ dm}$ được sơn màu trong các cánh hoa giới hạn bởi $4$ đường cong Parabol chung đỉnh $O$ tại tâm của viên gạch hình vuông và mỗi parabol đi qua $2$ đỉnh liền kề của viên gạch (hình vẽ minh họa). Một người cần trang trí một thang lên trời, bằng cách dán các viên gạch đã được sơn màu các cánh hoa như trên lên mặt đứng phía trước mỗi bậc thang. Biết mặt trước mỗi bậc thang là hình chữ nhật có chiều rộng không đổi $4\text{ dm}$ và chiều dài bậc trên cùng là $8\text{ dm}$; chiều dài bậc dưới cùng là $56\text{ dm}$ và chiều dài mỗi bậc thang khi đi lên giảm $4\text{ dm}$ so với bậc thang liền kề bên dưới (tham khảo hình vẽ minh họa).
Chi phí sơn màu mỗi mét vuông là $150$ nghìn đồng. Hỏi chi phí sơn màu trang trí cho tất cả số gạch dùng để trang trí thang lên trời bao nhiêu nghìn đồng? *(Bỏ qua khoảng cách giữa hai viên gạch liền kề và xem như bằng $0$)*

Cho $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=3$, ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=6$. Giá trị của ${\int }_0^{3}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Nếu ${\int }_0^4(f(x)-x)\mathrm{d}x=3$ thì ${\int }_0^{4}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, $f(2)=3$ và ${\int }_0^{2}x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=1$. Tính ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x$.