Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A(2;1;3)$, $B(1;-2;1)$, $C(-1;0;-3)$, $D(0;2;-5)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A,B$ và $(P)$ song song với đường thẳng $CD$.

Trong không gian $Oxyz$, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha ):4y-6z+7=0$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(0;-1;4)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(2;2;-1)$. Phương trình của $(P)$ là

Biết ${\int }_0^{\frac{\pi }{6}}2\sin x\text{d}x=a+b\sqrt{3}$ $(a,b\in \mathbb{Z})$. Tính $a+b$.

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=2x-{\text{e}}^x$ thỏa mãn $F(0)=-2$. Tìm $F(x)$.

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^3+2$ là

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0$ và $x=1$, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(0\le x\le 1)$ thì được mặt cắt là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $x$ và $(x+1)$.

Cho hàm số bậc hai $y=f(x)$ có đồ thị $(P)$ và đường thẳng $d$ cắt nhau tại hai điểm $A(1;2)$ và $B(3;4)$ như hình dưới.
[IMAGE:img_p2_q1]

Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và $d$ có diện tích $S=\frac{100}{57}$.

Trong một dự án khai thác khí đốt, gọi $t$ (tháng) là thời gian tính từ thời điểm bắt đầu khai thác, với $0\le t\le 400$. Tốc độ khai thác khí đốt tại thời điểm $t$ được cho bởi hàm số $V^{\prime }(t)=400-t$ (đơn vị: nghìn ${\text{m}}^3$/tháng), trong đó $V(t)$ là tổng lượng khí đã khai thác được từ lúc bắt đầu đến thời điểm $t$ (đơn vị: nghìn ${\text{m}}^3$), $V(0)=0$. Để đơn giản hóa việc tính toán, đơn giá bán khí đốt tại thời điểm $t$ được mô hình hóa bởi hàm số $P(t)=10+0,02t$ (đơn vị: triệu đồng/nghìn ${\text{m}}^3$).

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-1;-1;1)$ và các mặt phẳng $(\alpha ):2x-2y-z-5=0$, $(\beta ):4x-4y-2z-5=0$.

Cho $f(x)$ là hàm đa thức thỏa mãn $f^{\prime }(x)=3x^2-6x+1$, $f(0)=2$.

Trong không gian $Oxyz$, bề mặt vườn hoa được mô phỏng bởi mặt phẳng $(P):x+y+4z-30=0$. Tại hai vị trí $H,K$ trong vườn, người ta dựng hai cột đèn $AH,BK$ vuông góc với mặt vườn. Cho biết:
+ Tọa độ đỉnh cột đèn $AH$ là $(1;3;10)$.
+ Chiều cao cột đèn $BK$ là $\frac{22\sqrt{2}}{3}$.
+ Khoảng cách giữa hai chân cột đèn là $17$.
Một đèn chiếu được gắn tại điểm $M$ nằm trên đường thẳng đi qua hai chân cột $H$ và $K$. Yêu cầu kỹ thuật đặt ra là hai tia sáng $MA$ và $MB$ tạo với mặt vườn các góc bằng nhau, $MA>6$. Khi đó $MH=\frac{a}{b}$ (với $a,b\in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản), giá trị của $a+100b$ bằng bao nhiêu?

Cho ${\int }_{-2}^{5}f(x)\text{d}x=-12$, $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-2;5]$, $F(5)=-10$. Giá trị $F(-2)$ bằng bao nhiêu?

Trên bản thiết kế đồ hoạ 3D của một cánh đồng điện mặt trời trong không gian $Oxyz$, một tấm pin nằm trên mặt phẳng $(P):6x+5y+z+2=0$; một tấm pin khác nằm trên mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $M(1;1;2)$ và song song với $(P)$.
[IMAGE:img_p3_q3]

Mặt phẳng $(Q)$ có phương trình dạng $6x+by+cz+d=0$. Giá trị của $b+c+d$ bằng bao nhiêu?

Cho hàm số bậc hai $y=f(x)$ có đồ thị $(P)$ như hình sau
[IMAGE:img_p3_q4]

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và trục hoành quay quanh trục $Ox$ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Biết rằng hàm số $F(x)=a{x}^3+(2a+b)x^2+5x-1$, $(a,b\in \mathbb{Z})$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=6x^2+10x+5$. Giá trị của $10ab$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=50\text{ cm}$, $BC=35\text{ cm}$. Một chú bọ $X$ xuất phát tại một điểm $P$ trên cạnh $CD$ sao cho từ lúc xuất phát và trong suốt quá trình di chuyển trong hình chữ nhật $ABCD$ luôn thỏa mãn khoảng cách từ $X$ đến điểm $C$ bằng khoảng cách từ $X$ đến cạnh $AB$. Chú bọ $X$ dừng lại khi lần đầu gặp cạnh $BC$ tại $N$, sau đó men theo các cạnh của hình chữ nhật đã cho (theo phần biên không chứa đỉnh $C$) để trở về điểm xuất phát.
[IMAGE:img_p3_q6]

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường đi của chú bọ $X$ bằng bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?