Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0$ và $x=5$, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(0\le x\le 5)$ thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là $7x$ và $\sqrt{25-x^2}$.

Cho f(x) là một hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$. Khi nói về nguyên hàm của hàm số f(x) thì có bao nhiêu phát biểu sau là phát biểu ĐÚNG?

Phát biểu 1: “Hàm số f(x) chỉ có một nguyên hàm duy nhất”

Phát biểu 2: “Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) thì F’(x) = f(x)”

Phát biểu 3: “$\int a.f\left(x\right)dx=a\int f\left(x\right)dx,\left(a\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}\right)$”

Phát biểu 4: “$\int \left(a+f\left(x\right)\right)dx=a+\int f\left(x\right)dx,\left(a\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}\right)$”

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=3x+9$, trục hoành và các đường thẳng $x=-6,x=-4$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục $Ox$.

Một vật chuyển động với tốc độ chậm dần đều với hàm vận tốc như sau: $v(t)=-10t+30$ (m/s), với thời gian $t$ tính bằng giây. Tính quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu (t = 0) đến khi dừng hẳn.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=6x^2-30x+36$, $y=2x+1$ và các đường thẳng $x=2,x=3$.

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M\left(3;-1;4\right)$ đồng thời vuông góc với giá của vecto $\vec{a}=\left(1;-1;2\right)$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$. Tính $\cos in$ của góc giữa hai đường thẳng có phương trình lần lượt là $d_1:\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-1}$, $d_2:\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{9}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình $x+2y-z+6=0$.

Từ thời điểm bắt đầu khảo sát (t = 0), một ô tô đang chạy thẳng đều với vận tốc 10 m/s. Sau khi đi được 2 phút thì người đó gặp chướng ngại vật phía trước, người lái xe đạp phanh. Tiếp theo đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a(t)=-2\left(m/s^2\right)$ cho đến khi dừng hẳn (t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu khảo sát).

Một phần sân trường được định vị bởi các điểm $A,B,C,D$ như hình 1 và được tọa độ hóa thông qua cách đặt hệ trục Oxyz như hình 2:



Hình 1 (trái): hình thang vuông ABCD với AB = 25m, AD = 15m, BC = 18m. Hình 2 (phải): hệ trục Oxyz với các điểm A, B, C, D và B', C', D' hạ xuống dưới mặt Oxy.

Bước đầu chúng được thiết kế "thẳng bằng" để có cùng độ cao, biết $ABCD$ là hình thang vuông ở $A$ và $B$ với độ dài $AB=25m$, $AD=15m$, $BC=18m$. Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở $C$ nên người ta hạ độ cao ở các điểm $B$, $C$, $D$ xuống thấp hơn so với mặt Oxy một khoảng là 10 cm, $a$ cm, 6 cm tương ứng thành các điểm B', C' và D'. Giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?

Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người ta thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa hình tròn (phần tô đậm) và cách nhau một khoảng 4 m. Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô đậm) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bản tương ứng là 150 000 đồng/m${}^2$ và 100 000 đồng/m${}^2$. Số tiền cần sử dụng để trồng hoa và cỏ Nhật Bản trong khuôn viên này khi được làm tròn đến hàng nghìn sẽ xấp xỉ con số $\overline{abcd}000$. Số $\overline{abcd}$ là bao nhiêu?