Biết $F(x)$ và $G(x)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn ${\int }_0^{4}f(x)dx=F(4)-G(0)+2m$, với $m>0$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=F(x)$, $y=G(x)$; $x=0$ và $x=4$. Khi $S=8$ thì $m$ bằng?

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho:
- Đồ thị $(C)$ của hàm số $y=\frac{3}{4}|x|$.
- Đường tròn $(C_1)$ có tâm $I_1$, bán kính $1$ tiếp xúc với $(C)$ tại $A$ và tiếp xúc với tia $Ox$.
- Đường tròn $(C_2)$ có tâm $I_2$, bán kính $1$ tiếp xúc với $(C)$ tại $B$ và tiếp xúc với tia $O{x}^{\prime }$.
- Parabol $(P)$ có đỉnh là $O$, qua $I_1$ và $I_2$.
(tham khảo hình vẽ dưới đây)

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi $(C),(P)$ và các đường thẳng $I_{1}A,I_{2}B$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y=\sin x$, $y=\cos x$ và các đường thẳng $x=0$, $x=\pi$ được tính bằng công thức:

Diện tích phần gạch chéo trong hình bên bằng

Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $f(x)=x^2-2x$ và $f(x)=x^3-2x^2$.

Mỗi viên gạch trắng hình vuông cạnh $4\text{ dm}$ được sơn màu trong các cánh hoa giới hạn bởi $4$ đường cong Parabol chung đỉnh $O$ tại tâm của viên gạch hình vuông và mỗi parabol đi qua $2$ đỉnh liền kề của viên gạch (hình vẽ minh họa). Một người cần trang trí một thang lên trời, bằng cách dán các viên gạch đã được sơn màu các cánh hoa như trên lên mặt đứng phía trước mỗi bậc thang. Biết mặt trước mỗi bậc thang là hình chữ nhật có chiều rộng không đổi $4\text{ dm}$ và chiều dài bậc trên cùng là $8\text{ dm}$; chiều dài bậc dưới cùng là $56\text{ dm}$ và chiều dài mỗi bậc thang khi đi lên giảm $4\text{ dm}$ so với bậc thang liền kề bên dưới (tham khảo hình vẽ minh họa).
Chi phí sơn màu mỗi mét vuông là $150$ nghìn đồng. Hỏi chi phí sơn màu trang trí cho tất cả số gạch dùng để trang trí thang lên trời bao nhiêu nghìn đồng? *(Bỏ qua khoảng cách giữa hai viên gạch liền kề và xem như bằng $0$)*

Cho hàm số $f(x)=x^3$. Đường thẳng $d$ đi qua gốc tọa độ $O$ và điểm $P(2;f(2))$ cắt đường thẳng $\Delta :y=-x+5$ tại điểm $Q$. Gọi $R$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với trục hoành. Gọi $A$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=f(x)$, đường thẳng $\Delta$ và đoạn thẳng $PQ$; $B$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=f(x)$, đường thẳng $\Delta$ và trục hoành. Tính giá trị của $B-A$.