Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị từ đạo hàm và bảng biến thiên (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Vì hệ số $a=1>0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ (đổi dấu từ âm sang dương qua $x=3$). Tính $y(3)=\frac{27}{3}-18+9+1=9-18+9+1=1$. Vậy điểm cực tiểu là $(3;1)$, khớp với đáp án D của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3-3x^2$.
a) $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$ — Đúng.
b) $f^{\prime }(x)=3x(x-2)$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Bảng biến thiên: $f$ tăng trên $(-\infty ;0)$, giảm trên $(0;2)$, tăng trên $(2;+\infty )$ nên cực tiểu tại $x=2$, không phải $x=0$ (tại $x=0$ là cực đại) — Sai.
c) Trên $[0;4]$: $f(0)=0$, $f(2)=-4$, $f(4)=64-48=16$. Giá trị lớn nhất bằng 16 — Đúng.
d) $y=\frac{x^2(x-3)}{(x-1)(x-3{)}^2}=\frac{x^2}{(x-1)(x-3)}$ với $x\ne 3$. Tại $x=1$ và $x=3$ mẫu số về 0 trong khi tử số khác 0 (tại $x=3$, tỉ số ~ $\frac{9}{2(x-3)}\to \infty$), nên đồ thị có 2 tiệm cận đứng $x=1$ và $x=3$, không phải 1 — Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x(x-2)=0\iff x=0,x=2$; hàm đạt cực tiểu tại $x=2$ (cực đại tại $x=0$).
c) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $f(0)=0,f(2)=-4,f(4)=16$ nên max trên $[0;4]$ bằng 16.
d) (AI giải đề cho tôi)
Rút gọn $y=\frac{x^2}{(x-1)(x-3)}$ ($x\ne 3$); tiệm cận đứng là $x=1$ và $x=3$, tức có 2 đường.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Hai điểm cực trị: $(0;5)$ và $(2;1)$. Độ dài đoạn nối: $\sqrt{(2-0{)}^2+(1-5{)}^2}=\sqrt{20}\approx 4,47$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba, điểm cực đại có tọa độ $(-1;2)$, nên giá trị cực đại là $f(-1)=2$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$, nghịch biến trên $(-1;3)$, đồng biến trên $(3;+\infty )$. Tại $x=3$, hàm số đạt cực tiểu với giá trị $f(3)=1$. Vậy giá trị cực tiểu của hàm số bằng $1$, chọn đáp án D. (Kết quả trùng với đáp án nguồn: 6.D)

Từ BBT ta thấy hàm số $f(x)$ đạt cực tiểu tại điểm $x=3$.

Lời giải. Ta có $y^{\prime }=3x^2-3$. Khi đó,

$$y^{\prime }=0\iff 3x^2-3=0\iff \{\begin{array}{ll}x=1& \Rightarrow y=0\\ x=-1& \Rightarrow y=4.\end{array}$$

Vậy $(\mathcal{C})$ có hai điểm cực trị là $A(1;0)$ và $B(-1;4)$.

Bình luận. Bài toán yêu cầu xác định các điểm cực trị của một hàm số bậc ba thông qua việc tính đạo hàm và giải phương trình $y^{\prime }=0$. Đây là dạng bài cơ bản trong chương trình giải tích lớp 12, chủ yếu kiểm tra khả năng thực hiện các thao tác tính toán tiêu chuẩn. Mức độ yêu cầu chưa cao và khả năng phân hóa thí sinh còn hạn chế so với tính chất của một đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3-3x+1$, có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. a) Đúng: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=1$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu. b) Sai: trên $(-1;1)$ có $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến. c) Đúng: hai điểm cực trị $x_1=-1$, $x_2=1$ nên $x_1{x}_2=-1$ (cũng là $-b/a$ của $3x^2-3=0$). d) Sai: $A(-1;3)$, $B(1;-1)$, $C(-1;2)$. Diện tích $=\frac{1}{2}|\det (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})|=\frac{1}{2}|2\cdot (-1)-(-4)\cdot 0|=1\ne 12$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-3$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=1$, nên $x=1$ là điểm cực tiểu.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-1;1)$, $y^{\prime }=3x^2-3<0$ nên hàm số nghịch biến, không đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị là nghiệm của $3x^2-3=0$, tức $x_1=-1$, $x_2=1$, nên $x_1{x}_2=-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A(-1;3)$, $B(1;-1)$, $C(-1;2)$. Diện tích tam giác $ABC=\frac{1}{2}|\det (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})|=\frac{1}{2}|2\cdot (-1)-(-4)\cdot 0|=1\ne 12$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^4-2x^2-5$, ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$. $f^{\prime }(x)=0\iff x\in \{-1;0;1\}$, và $f^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm nên cả ba đều là điểm cực trị (cực tiểu tại $x=\pm 1$, cực đại tại $x=0$).
a) Đúng: hàm số có 3 điểm cực trị $x=-1,0,1$.
b) Sai: trên $(0;1)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến trên $(0;1)$, do đó không đồng biến trên toàn $(0;+\infty )$ (chỉ đồng biến trên $(1;+\infty )$).
c) Sai: $f(0)=-5\ne 1$, nên điểm cực đại của đồ thị là $(0;-5)$, không phải $M(0;1)$.
d) Đúng: $y=f(2x)=16x^4-8x^2-5$ có $(f(2x){)}^{\prime }=64x^3-16x=16x(2x-1)(2x+1)$, cực đại tại $x=0$ với $y=-5$; hàm $f(x)$ cũng có điểm cực đại duy nhất $(0;-5)$. Vậy hai hàm số có cùng điểm cực đại $(0;-5)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=4x(x-1)(x+1)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $-1$, $0$, $1$ và $f^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm, nên hàm có 3 điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;1)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến trên $(0;1)$; hàm chỉ đồng biến trên $(1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=-5$ nên điểm cực đại của đồ thị là $(0;-5)$, không phải $M(0;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(2x)=16x^4-8x^2-5$ có cực đại tại $x=0$, $y=-5$; $f(x)$ cũng có điểm cực đại duy nhất $(0;-5)$. Vậy hai hàm có cùng điểm cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=x^3+3x^2-9x$, có tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x-1)(x+3)$.

$y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$.

Bảng xét dấu của $y^{\prime }$: trên $(-\infty ;-3)$, $y^{\prime }>0$ (hàm đồng biến); trên $(-3;1)$, $y^{\prime }<0$ (hàm nghịch biến); trên $(1;+\infty )$, $y^{\prime }>0$ (hàm đồng biến).

Do đó hàm số đạt cực đại tại $x=-3$ (đạo hàm đổi dấu từ $+$ sang $-$) và đạt cực tiểu tại $x=1$ (đạo hàm đổi dấu từ $-$ sang $+$).

Vậy điểm cực tiểu của hàm số là $x_{CT}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số có dạng chữ W: ba điểm cực tiểu là ba nơi đồ thị chạm trục hoành (tại $x=-1$, $x=0$ và điểm bên phải khoảng $x\approx 2$) và hai điểm cực đại là hai đỉnh cao $y=2$ (tại $x\approx -0,5$ và $x=1$). Vì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$, tại mỗi điểm này hàm số đổi chiều biến thiên (từ giảm sang tăng hoặc từ tăng sang giảm) nên tất cả đều là điểm cực trị. Vậy hàm số có $3+2=5$ điểm cực trị, chọn B.

Ta thấy $x^2\ge 0$ và $(x-3{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, tức là $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu khi qua $x=0$ và $x=3$.
$f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu duy nhất một lần khi đi qua nghiệm bội lẻ $x=2$.
Do đó hàm số có đúng 1 điểm cực trị.

Chọn D.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Quan sát bảng xét dấu:
- Khi qua $x=-1$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x=-1$ là một điểm cực trị (điểm cực tiểu).
- Khi qua $x=0$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu (vẫn mang dấu $+$).
- Khi qua $x=3$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên $x=3$ là một điểm cực trị (điểm cực đại).
Vậy hàm số có tất cả 2 điểm cực trị.

Chọn D.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm $x=1$ (nghiệm đơn), $x=3$ (nghiệm bội chẵn 4) và $x=-1$ (nghiệm bội chẵn 2).
Do $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu khi qua nghiệm đơn $x=1$, nên hàm số chỉ có đúng 1 điểm cực trị.

Chọn D.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm là $x=0$ (bội 1), $x=-1$ (bội 1), $x=4$ (bội 2).
Đạo hàm chỉ đổi dấu khi đi qua các nghiệm bội lẻ là $x=0$ và $x=-1$.
Tại nghiệm bội chẵn $x=4$, đạo hàm không đổi dấu.
Vậy hàm số có $2$ điểm cực trị.

Xét hàm số $y=x^3-6x^2+9x+1$ có $y^{\prime }=3x^2-12x+9$ và $y^{\prime \prime }=6x-12$.
Ta có $y^{\prime }(1)=3(1{)}^2-12(1)+9=0$ và $y^{\prime \prime }(1)=6(1)-12=-6<0$.
Do đó $x=1$ là điểm cực đại của hàm số $y=x^3-6x^2+9x+1$.

Quan sát bảng biến thiên:
- Khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to +\infty$, do đó hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$. Mệnh đề "Hàm số có giá trị lớn nhất bằng $-3$" là sai (giá trị cực đại của hàm số là $-3$, không phải giá trị lớn nhất).

Ta có $f^{\prime }(x)=x(x-1)(x-2)(x+2)$. Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có bốn nghiệm đơn là $-2,0,1,2$. Bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: dương trên $(-\infty ;-2)$, âm trên $(-2;0)$, dương trên $(0;1)$, âm trên $(1;2)$, dương trên $(2;+\infty )$. Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại $x=-2$ và $x=1$, do đó hàm số có 2 điểm cực đại. Chọn D.

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-4x\Rightarrow y^{\prime }=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0,y=-2\\ x=\pm 1,y=-3\end{array}\right]$.



Hàm số có giá trị cực đại bằng $-2$ tại điểm $x=0$.

**Chọn C**

(Theo bảng đáp án chính thức của Trường THPT Bạch Đằng - Mã đề 101, trang 7-8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).