Đề Thi Học Sinh Giỏi Cấp Tỉnh Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Đồng Tháp

Bài 1. (2,0 điểm) Cho hàm số $y=x^3-3x+2$ có đồ thị là $(C)$. Chỉ ra tọa độ các điểm cực trị của $(C)$.

Bài 2. (4,0 điểm) Một công xưởng cần nhập 30 tấn nguyên liệu mỗi tháng để phục vụ sản xuất, chi phí nguyên liệu bao gồm giá nguyên liệu, phí vận chuyển và tiền công xếp dỡ hàng.
- Giá nguyên liệu được hợp đồng với nhà cung cấp như sau: nếu mỗi lần mua không quá 5 tấn thì đơn giá là 4 triệu đồng/tấn, nếu mỗi lần mua trên 5 tấn thì đơn giá sẽ tăng lên, cứ thêm 1 tấn thì đơn giá tăng 0,5\%.
- Mỗi lần nhập nguyên liệu xưởng phải chi trả 2 triệu đồng phí vận chuyển. Mỗi tấn nguyên liệu xưởng phải chi trả 150 ngàn đồng tiền công xếp dỡ hàng.
1. Khi xưởng nhập mỗi lần 6 tấn nguyên liệu, tính tổng chi phí nguyên liệu trong tháng đó.
2. Hãy lập kế hoạch nhập nguyên liệu trong tháng cho xưởng để tổng chi phí nguyên liệu thấp nhất đồng thời đảm bảo mỗi lần nhập với khối lượng như nhau.

Bài 3. (4,0 điểm)

1. Mực nước tại một trạm quan trắc A nào đó trên sông trong một ngày được mô hình hóa bằng hàm số $h=h(t)=4-1,5\sin \left(\frac{\pi }{12}t\right)$ với $h$ là độ cao mực nước tính bằng mét $(m)$, $t$ là thời gian trong ngày tính bằng giờ, $0\le t<24$.
a) Tính độ cao mực nước lúc 6 giờ.
b) Tại thời điểm nào trong ngày mực nước đạt độ cao $3,25m$?
2. Cho hàm số $y=f(x)={\log }_2(2x-1)$.
a) Tính $f\left(\frac{17}{2}\right)$.
b) Giải bất phương trình $f(x)\le 3$.

Bài 4. (3,0 điểm)
1. Một chiếc hộp chứa 9 quả cầu có khối lượng và kích thước bằng nhau gồm 4 quả màu xanh, 3 quả màu đỏ và 2 quả màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn 3 quả cầu sao cho trong 3 quả được chọn có ít nhất 1 quả màu đỏ?
2. Trong một trò chơi điện tử, nhà phát triển lập trình nhân vật $M$ chỉ di chuyển trong mặt phẳng $Oxy$ đến những điểm có tọa độ $(x;y)$ với $x$ và $y$ là các số nguyên. Những điểm đó gọi là điểm có tọa độ nguyên.
- “Vùng an toàn” là những điểm có tọa độ nguyên thuộc hình chữ nhật $ABCD$ (kể cả những điểm trên cạnh của hình chữ nhật) với $A(-3;-2)$, $B(4;-2)$ và $C(4;7)$.
- “Vùng tặng thưởng” là những điểm có tọa độ nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $|x|+|y|>4$. Nhân vật được tặng thưởng khi di chuyển vào “vùng tặng thưởng”.
Nhân vật $M$ đang di chuyển tự do trong “vùng an toàn”, tính xác suất để nhân vật được tặng thưởng.

Bài 5. (3,0 điểm)

Cho khối lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng 2.
1. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }B$.

Bài 6. (4,0 điểm)
1. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(1;2;3)$, $B(-1;1;0)$, $C(3;0;-6)$. Tìm tọa độ điểm $M\in (Oxy)$ sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất.
2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho trước, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, tia $Oz$ hướng lên trên, đơn vị trên mỗi trục là mét, một chiếc drone (thiết bị bay điều khiển từ xa) xuất phát từ gốc tọa độ $O$ chuyển động thẳng đều theo hướng hợp với các tia $Ox$, $Oy$ các góc tương ứng $45^{\circ }$, $120^{\circ }$ với tốc độ $15m/s$. Tìm tọa độ của chiếc drone đó sau một phút chuyển động.