Câu 1. (2,0 điểm) Tính tích phân sau $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{x\sin x+(x+1)\cos x}{x\sin x+\cos x}dx$

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x),G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $2F(4)-G(4)=3$ và $2F(1)-G(1)=1$. Khi đó $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(3x-2)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn có bán kính $r=2$ và đồ thị (C) của hàm số $y=f(x)$ như hình vẽ. Biết (H) có diện tích $S=\frac{31}{4}$. Ta có ${\int }_{-2}^{2}f(1-x)dx=a\pi +\frac{b}{2}$, tính $a+b$

$\underset{0}{\overset{4}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\mathrm{d}x$ bằng

Trọng lượng của một bào thai người nặng khoảng 0,04 ounce (1 ounce = 28,3485 gram) sau 8 tuần tuổi. Trong suốt 35 tuần tiếp theo, trọng lượng của bào thai này được dự đoán tăng với tốc độ $B^{\prime }(t)=\frac{2436e^{-0,193t}}{{\left(1+784e^{-0,193t}\right)}^2}$, $8\le t\le 43$ với $B(t)$ là cân nặng tính bằng ounce và $t$ là thời gian tính bằng tuần. Hãy tính trọng lượng của bào thai sau 25 tuần tuổi (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần trăm).

Biết $I=\underset{\ln 3}{\overset{\ln 6}{\int }}\frac{dx}{e^x+2e^{-x}-3}=3\ln a-\ln b$ với $a$, $b$ là các số nguyên dương. Tính $P=ab$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[2;4]$ thoả mãn $f(2)=\frac{5}{8}$ và $(x+3)f^{\prime }(x)=f(x)-3x^2{f}^2(x)$. Giá trị của ${\int }_2^{4}f(x)\mathrm{d}x$ bằng