Câu 6. Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left(1;1;1\right)$, $B\left(-1;2;0\right)$, $C\left(3;-1;2\right)$, $D\left(-23;20;-11\right)$. Điểm $M$ thay đổi thuộc mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x-y+2z+7=0$. Khi $M\left(a;b;c\right)$ thì biểu thức $T=3{\left(\frac{MA}{MD}\right)}^2+5{\left(\frac{MB}{MD}\right)}^2-7{\left(\frac{MC}{MD}\right)}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng $a^2+b^2+c^2$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $N(1;-8;-3)$ và mặt phẳng $(Q):6x-2y+3z-6=0$. Khoảng cách từ điểm $N$ đến mặt phẳng $(Q)$ bằng

(0,5 điểm). Trong quá trình kiểm tra chất lượng tự động bằng công nghệ quét 3D laser, phần mềm phân tích ghi nhận mặt đáy của một rãnh gai lốp xe là một mặt phẳng đi qua ba điểm $A(1;1;1)$, $C(-1;2;1)$ và $D(2;-1;3)$. Máy quét phát hiện một điểm lỗi lồi lên (khối cao su dư) tại vị trí $B(4;3;2)$ (đơn vị tọa độ tính bằng milimét). Kỹ sư cần tính chiều cao của khối lỗi này so với mặt đáy rãnh gai lốp để đối chiếu với tiêu chuẩn kiểm định. Tính chiều cao đó.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):3x+4y+2z+4=0$ và điểm $A(1;-2;3)$. Tính khoảng cách $d$ từ $A$ đến $(P)$.

Một kĩ sư xây dựng thiết kế khung một ngôi nhà trong không gian $Oxyz$ như hình vẽ bên nhờ một phần mềm đồ họa máy tính (đơn vị trên mỗi trục là mét). Biết rằng sàn nhà, bốn mặt bên cùng với các mặt phẳng $(DEMN)$ và $(MNHF)$ là các hình chữ nhật, tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(DEMN)$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một kĩ sư xây dựng thiết kế khung một ngôi nhà trong không gian $Oxyz$ như hình vẽ bên nhờ một phần mềm đồ họa máy tính (đơn vị trên mỗi trục là mét). Biết rằng sàn nhà, bốn mặt bên là các hình chữ nhật, đỉnh $S$ cách đều bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ và khoảng cách từ $S$ đến trần nhà $(ABCD)$ bằng 1 m. Hãy tính khoảng cách từ điểm $C^{\prime }$ đến mặt phẳng $(SAD)$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng $\sqrt{3}$. Hình chiếu vuông góc của $A$ trên mp $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ trùng với trung điểm $I$ của $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Tính khoảng cách từ $A{A}^{\prime }$ đến mặt bên $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$